｛（ｎ^2−１）／２｝^2＋ｎ^2＝｛（ｎ^2＋１）／２｝^2

　　（ｎ^2−１）^2＋（２ｎ）^2＝（ｎ^2＋１）^2

のように文字を一つだけ使ったのでは，ピタゴラス三角形全部をもれなく表す公式は作れませんが，二つの文字を使った公式

　　（ｍ^2−ｎ^2）^2＋（２ｍｎ）^2＝（ｍ^2＋ｎ^2）^2

では全部を表すことができます．

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　ピタゴラス三角形ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2の内接円の半径をｒとすると，

　　ｃ＝ａ＋ｂ−２ｒ

　　ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2

　　ａ^2＋ｂ^2＝（ａ＋ｂ−２ｒ）^2

　　（ａ−２ｒ）（ｂ−２ｒ）＝２ｒ^2

　ここで，ａとｃを奇数，ｂを偶数

　ｒ＝αβ，αを奇数，βをαと互いに素な整数

とすると，（ａ−２ｒ）は奇数，（ｂ−２ｒ）は偶数だから

　（ａ−２ｒ）＝α^2，（ｂ−２ｒ）＝２β^2

より，

ａ＝α^2＋２αβ

ｂ＝２β^2＋２αβ

ｃ＝α^2＋２αβ＋２β^2

とずべてのピタゴラス三角形をパラメトライズすることができる．

　　［参］永田博「三平方の定理から四立方の定理へ」東京図書出版

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