【２】アイゼンシュタイン三角形

　ピタゴラス三角形とよく似た三角形に三辺の長さが整数であって，二辺ａ，ｂのあいだの角が１２０°である鈍角三角形があります．一松信先生はこの三角形をアイゼンシュタイン三角形と呼んでいますが，この三角形はピタゴラスの定理の拡張である余弦定理ｃ^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ・ｃｏｓＣより，

　　ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＝ｃ^2

を満たします．

　この一般解は

ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝ｋ（２ｍｎ＋ｎ^2），ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｍｎ＋ｎ^2）

と表現でき，（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，５，７），（７，８，１３），（５，１６，１９），・・・など無限に存在します．

　ディオファントスはａ^2＋ａｂ＋ｂ^2＝ｃ^2を満たすａ，ｂ，ｃをとり，（ｍ，ｎ）＝（ｃ，ａ），（ｃ，ｂ），（ｃ，ａ＋ｂ）の三組からは同一面積（ａ＋ｂ）ａｂｃの直角三角形ができることを示しています．

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【３】ヘロン三角形

　すべてのピタゴラス三角形は整数の面積をもっています．三辺の長さと面積が整数である三角形をヘロン三角形といいますが，直角三角形でない三角形の中にもヘロン三角形は存在します．

　ヘロン三角形は２つのピタゴラス三角形を貼り合わせることで簡単に作ることができ，たとえば，直角三角形（５，１２，１３）と直角三角形（９，１２，１５）から三辺の長さが（１３，１４，１５）で面積が８４の鋭角三角形と三辺の長さが（４，１３，１５）で面積が２４の鈍角三角形が得られます．

　一般に，３辺と面積が有理数であるようなすべての三角形は，有理数辺をもつ２つの直角三角形から合成されます．３辺がすべて有理数の直角三角形は適当な整数倍によってピタゴラス三角形になりますから，ヘロン三角形は広義のピラゴラス三角形から合成されるといってもよいでしょう．なお，直角三角形の面積は６の倍数ですが，それが平方数となる（ａ，ｂ，ｃ）は存在しません．

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