■パラメータ解? (その56)

 3^2+4^2=5^2

が成り立つことは有名であるが,次元をあけた

 3^3+4^3+5^3=6^3

 1^3+6^3+8^3=9^3

はあまり知られていない.また,

 3^2+4^2=5^2

であるが,

 3^3+4^3+5^3=6^3

となることは偶然だろうか?

 不定方程式a^3+b^3+c^3=d^3を満たす自然数解は無数に存在するが,ここではその一般解について調べてみます.

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【1】オイラー解

 オイラーによれば不定方程式a^3+b^3+c^3=d^3の一般解は

a=−(x^2+3y^2)^2+(z^2+3w^2)(xz+3yw+3xw−3yz),

b=(x2+3y^2)^2−(z^2+3w^2)(xz+3yw−3xw+3yz),

c=(z^2+3w^2)^2−(x^2+3y^2)(xz+3yw+3xw−3yz),

d=(z2+3w^2)^2+(x^2+3y^2)(xz+3yw+3xw−3yz)

であることが知られています.3回回転対称性が意識されているのだと思われます.

> これより,

  3^3 +4^3+5^3=6^3,

  1^3+6^3+8^3=9^3,

  7^3+14^3+17^3=20^3

などが求められます.

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【2】ラマヌジャン解

 ラマヌジャンはa^3+b^3+c^3=d^3の解を二つの文字m,nの恒等式

a=3m^2+5mn−5n^2 ,

b=4m^2−4mn+6n^2 ,

c=5m^2−5mn−3n^2 ,

d=6m^2−4mn+4n^2

として与えています.

 3^3 +4^3+5^3=6^3

を意識したものと思われますが,

 3^2+4^2=5^2

 3^3+4^3+5^3=6^3

となることは偶然とは思われないのです.

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