次元をひとつあげるとαnは

　　ｖ1（１，０，０，・・・，０，０）

　　ｖ2（０，１，０，・・・，０，０）

　　ｖ3（０，０，１，・・・，０，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｖn（０，０，０，・・・，１，０）

　　ｖn+1（０，０，０，・・・，０，１）

として構成することができる．α5は６×６行列となる．△5の場合も同様である．

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　１辺の長さが√２のαnの体積を求めてみよう．

　　直角三角錐の体積＝１／（ｎ＋１）！

　　原点から超平面ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘn+1＝１までの距離ｈ＝１／（ｎ＋１）^1/2

　　１／（ｎ＋１）！＝Ｖn・ｈ／（ｎ＋１）

　　Ｖn＝（ｎ＋１）^1/2／ｎ！

　しかし，この方法では△nの体積は求められない．

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■サマーヴィルの等面四面体（その８０１）

　次元をひとつあげると△nは

　　ｖ0（０，０，０，・・・，０，０）

　　ｖ1（−ｎ／（ｎ＋１），１／（ｎ＋１），１／（ｎ＋１），・・・，１／（ｎ＋１），１／（ｎ＋１））

　　ｖ2（−（ｎ−１）／（ｎ＋１），−（ｎ−１）／（ｎ＋１），２／（ｎ＋１），・・・，２／（ｎ＋１），２／（ｎ＋１））

　　・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｖn（−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１），・・・，−１／（ｎ＋１），ｎ／（ｎ＋１））

　ｖ1〜ｖnが超平面ａ1ｘ1＋ａ2ｘ2＋・・・＋ａn+1ｘn+1＝ｃ上にあるとすると

　　−ｎａ1＋ａ2＋ａ3＋・・・＋ａn＋ａn+1＝ｃ

　　−（ｎ−１）ａ1−（ｎ−１）ａ2＋２ａ3＋・・・＋２ａn＋２ａn+1＝ｃ

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　−ａ1−ａ2−ａ3＋・・・−ａn＋ｎａn+1＝ｃ

　一番目とｎ番目を足し合わせる

と−（ｎ＋１）ａ1＋（ｎ＋１）ａn+1＝２ｃ

　二番目とｎ−１番目を足し合わせる

　−（ｎ＋１）ａ1−（ｎ＋１）ａ2＋（ｎ＋１）ａn＋（ｎ＋１）ａn+1＝２ｃ

　−（ｎ＋１）ａ2＋（ｎ＋１）ａn＝０，ａ2＝ａn

　以上より，ａ1＝ａ2＝・・・＝ａn＝ａn+1＝１，ｃ＝０

　ｖ0も含め，すべて原点を通る超平面ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘn+1＝０上にある．

　超平面以外の点，たとえば（１，１，１，・・・，１，１）があって，体積を求めることができればよいのであるが，それができないのでサマーヴィルの公式に頼るしかない．

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