最短辺の長さ√ｎの△nの体積は

　　Ｖn^2＝（ｎ＋１）^(n-1)／（ｎ！）^2

で与えられる．これを（サマーヴィルの公式ではなく）漸化式を使って求めてみたい．

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△3

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（０，０，３ｈ）

　　Ｐ2（ｍ／√２，ｍ√３／√２，２ｈ）

　　Ｐ3（２ｍ／√２，０，ｈ）

とおくと

　　Ｐ0Ｐ1^2＝９ｈ^2

　　Ｐ0Ｐ2^2＝２ｍ^2＋４ｈ^2

　　Ｐ0Ｐ3^2＝２ｍ^2＋ｈ^2

　　Ｐ1Ｐ2^2＝２ｍ^2＋ｈ^2

　　Ｐ1Ｐ3^2＝２ｍ^2＋４ｈ^2

　　Ｐ2Ｐ3^2＝２ｍ^2＋ｈ^2

２ｍ^2＋ｈ^2（３）＜２ｍ^2＋４ｈ^2（２）

９ｈ^2（１）

ここで，

　　９ｈ^2＝２ｍ^2＋ｈ^2，ｍ^2＝４ｈ^2

ならば△3

　　Ｐ0Ｐ1^2＝９ｈ^2

　　Ｐ0Ｐ2^2＝９ｈ^2

　　Ｐ0Ｐ3^2＝１２ｈ^2

　　Ｐ1Ｐ2^2＝１２ｈ^2

　　Ｐ1Ｐ3^2＝９ｈ^2

　　Ｐ2Ｐ3^2＝９ｈ^2

△3は

　　Ｐ0Ｐ1＝Ｐ1Ｐ2＝Ｐ2Ｐ3＝√３

　　Ｐ0Ｐ2＝Ｐ1Ｐ3＝２

　　Ｐ0Ｐ3＝√３

９ｈ^2＝３，ｈ^2＝１／３，ｍ^2＝４／３

　△3３個で△2柱を構成する

　底面積はＶ2がｍ^2倍されている

　三角柱の高さは（９ｈ^2）^1/2が最短辺√３に対応する．

　Ｖ3＝ｍ^2Ｖ2（９ｈ^2）^1/2／３

＝ｍ^2Ｖ2ｈ＝４／３・（１／３）^1/2・Ｖ2＝４Ｖ2／３√３

Ｖ2^2＝３／４

Ｖ3^2＝４／９

（Ｖ3／Ｖ2）^2＝１６／２７　　（ＯＫ）

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