（その１６３）で紹介した

1/(1^2+a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(5^2+ a^2) + ・・

＝(π/(4a))・(e^(aπ)-1)/( e^(aπ)+1)　　　　-----�@

�@をaで微分することで

-2a{1/(1^2+a^2)^2 + 1/(3^2+ a^2)^2 + 1/(5^2+ a^2)^2 + ・・}

＝(-π/(4a^2))・(e^(aπ)-1)/( e^(aπ)+1)+(π/(4a))・{(aπe^(aπ)( e^(aπ)+1))-(aπe^(aπ)( e^(aπ)-1))}/( e^(aπ)+1)^2

＝(-π/(4a^2))・(e^(2aπ)-1)/( e^(aπ)+1)^2+(π/(4a))・{2πe^(aπ)/( e^(aπ)+1)^2

＝(-π/(4a^2))・(e^(2aπ)-1)/( e^(aπ)+1)^2+(π/(4a^2))・{2aπe^(aπ)/( e^(aπ)+1)^2

＝(-π/(4a^2))・(e^(2aπ)-1+2aπe^(aπ))/( e^(aπ)+1)^2

{1/(1^2+a^2)^2 + 1/(3^2+ a^2)^2 + 1/(5^2+ a^2)^2 + ・・}

＝(π/(8a^3))・(e^(2aπ)-2aπe^(aπ)-1)/(e^(aπ)+1)^2 ---�A

　あるいは，右辺を

(π/(4a))・(e^(aπ)-1)/( e^(aπ)+1)

＝(π/(4a))・tanh(aπ/2)

として，aで微分すると

＝(-π/(4a^2))・tanh(aπ/2)＋(π/(4a))・π/2・sech^2(aπ/2)

＝(-π/(4a^2))・tanh(aπ/2)＋(π/(4a^2))・aπ/2・sech^2(aπ/2)

＝(-π/(4a^2))・{tanh(aπ/2)-aπ/2・sech^2(aπ/2)}

かえって面倒になったかもしれない・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

�Aにａ＝ｑｉ／ｐを代入すると

左辺＝１／（１^2−ｑ^2／ｐ^2）^2＋１／（３^2−ｑ^2／ｐ^2）^2＋１／（５^2−ｑ^2／ｐ^2）^2＋・・・

＝（ｐ／２ｑ）^2｛｛１／（１−ｑ／ｐ）−１／（１＋ｑ／ｐ）｝^2＋｛１／（３−ｑ／ｐ）−１／（３＋ｑ／ｐ）｝^2＋｛１／（５−ｑ／ｐ）−１／（５＋ｑ／ｐ）｝^2＋・・・｝

＝（ｐ／２ｑ）^2｛｛１／（ｐ−ｑ）／ｐ）−１／（（ｐ＋ｑ）／ｐ）｝^2＋｛１／（３ｐ−ｑ）／ｐ）−１／（３ｐ＋ｑ）／ｐ）｝^2＋｛１／（５ｐ−ｑ）／ｐ）−１／（５ｐ＋ｑ）／ｐ）｝^2＋・・・｝

＝（ｐ^2／２ｑ）^2｛｛１／（ｐ−ｑ）−１／（ｐ＋ｑ）｝^2＋｛１／（３ｐ−ｑ）−１／（３ｐ＋ｑ）｝^2＋｛１／（５ｐ−ｑ）−１／（５ｐ＋ｑ）｝^2＋・・・｝

右辺＝(π/(8a^3))・(e^(2aπ)-2aπe^(aπ)-1)/(e^(aπ)+1)^2

ａ＝ｑｉ／ｐ

ａ^3＝−ｉｑ^3／ｐ^3

e^(2aπ)=e^(2qiπ/p)＝ｃｏｓ（２ｑπ／ｐ）＋ｉｓｉｎ（２ｑπ／ｐ）

e^(aπ)=e^(qiπ/p)＝ｃｏｓ（ｑπ／ｐ）＋ｉｓｉｎ（ｑπ／ｐ）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝