■サマーヴィルの等面四面体(その761)

[1]F4

 (x1,y1)=(1,0)に2個の頂点,

 (x2,±y2)=(−1/3,±√(1−1/3^2))にそれぞれ頂点が1個ずつ,

 xm=4/3・4,ym=0

[2]F4

 (x2,y2)=(−1/3,√(1−1/3^2))に2個の頂点,

 (x1,y1)=(1,0),(x2,−y2)=(−1/3,−√(1−1/3^2))にそれぞれ頂点が1個ずつ

 xm=0,ym=√(8/9)/4

 両者を比較すると[2]では

 [x2+s]=[r11,r12,r13,r14,r15][v6]

 [ −y2] [r21,r22,r23,r24,r25]

x2は[1]×1,y2は[1]×2倍

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[1]F5

 (x1,y1)=(1,0)に3個の頂点,

 (x2,±y2)=(−1/3,±√(1−1/3^2))にそれぞれ頂点が1個ずつ,

 xm=7/3・5,ym=0

[2]F5

 (x2,y2)=(−1/3,√(1−1/3^2))に3個の頂点,

 (x1,y1)=(1,0),(x2,−y2)=(−1/3,−√(1−1/3^2))にそれぞれ頂点が1個ずつ

 xm=−1/3・5,ym=2√(8/9)/5

 両者を比較すると[2]では,x2は[1]×−1/3,y2は[1]×3倍

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[1]F6

 (x1,y1)=(1,0)に4個の頂点,

 (x2,±y2)=(−1/3,±√(1−1/3^2))にそれぞれ頂点が1個ずつ,

 xm=10/3・6,ym=0

[2]F6

 (x2,y2)=(−1/3,√(1−1/3^2))に4個の頂点,

 (x1,y1)=(1,0),(x2,−y2)=(−1/3,−√(1−1/3^2))にそれぞれ頂点が1個ずつ

 xm=−2/3・6,ym=3√(8/9)/6

 両者を比較すると[2]では,x2は[1]×−1,y2は[1]×4倍

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[1]F7

 (x1,y1)=(1,0)に5個の頂点,

 (x2,±y2)=(−1/3,±√(1−1/3^2))にそれぞれ頂点が1個ずつ,

 xm=13/3・7,ym=0

[2]F7

 (x2,y2)=(−1/3,√(1−1/3^2))に5個の頂点,

 (x1,y1)=(1,0),(x2,−y2)=(−1/3,−√(1−1/3^2))にそれぞれ頂点が1個ずつ

 xm=−3/3・7,ym=4√(8/9)/7

 両者を比較すると[2]では,x2は[1]×−7/5,y2は[1]×5倍

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[まとめ]平均値でみてもy

√(8/9)/4→2√(8/9)/5→3√(8/9)/6→4√(8/9)/7

のほうが規則正しいが,xだって

4/3・4→7/3・5→10/3・6→13/3・7

0/3・4→−1/3・5→−2/3・6→−3/3・7

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