3と7がやたらと出てくる交代級数

1/3-1/7+1/13-1/17+1/23-1/27+1/33-1/37+1/43-1/47+・・

の値が求まったのですが、いくらになるかわかりますか？　　（杉岡幹生）

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　（その１４２）において，

Σ｛１／（５ｋ−２）−１／（５ｋ＋２）｝＝１／２−（π／５）／ｔａｎ（２π／５）

　一般に，ゼータの香り漂う式において，ａ＝ｑｉ／ｐとおいた場合は

Σ１／（ｐｋ−ｑ）−Σ１／（ｐｋ＋ｑ）

＝１／ｑ−（π／ｐ）／ｔａｎ（ｑπ／ｐ）

となる．

［１］ｐ＝５，ｑ＝２

Σ１／（５ｋ−２）−Σ１／（５ｋ＋２）

＝１／２−（π／５）／ｔａｎ（２π／５）

＝１／３−１／７＋１／８−１／１２＋１／１３−１／１７＋・・・

［２］ｐ＝１０，ｑ＝２

Σ１／（１０ｋ−２）−Σ１／（１０ｋ＋２）

＝１／２−（π／１０）／ｔａｎ（２π／１０）

＝１／８−１／１２＋１／１８−１／２０＋１／２８−１／３２＋・・・

［３］　［１］−［２］

＝−（π／５）／ｔａｎ（２π／５）＋（π／１０）／ｔａｎ（π／５）

＝−（π／５）｛１−ｔａｎ^2（π／５）｝／２ｔａｎ（π／５）＋（π／１０）／ｔａｎ（π／５）

＝−（π／１０）｛１−ｔａｎ^2（π／５）｝／ｔａｎ（π／５）＋（π／１０）／ｔａｎ（π／５）

＝−（π／１０）｛１−５＋２√５｝／ｔａｎ（π／５）＋（π／１０）／ｔａｎ（π／５）

＝−（π／１０）｛１−５＋２√５−１｝／ｔａｎ（π／５）

＝（π／１０）｛５−２√５｝／ｔａｎ（π／５）

＝（π／１０）ｔａｎ^2（π／５）／ｔａｎ（π／５）

＝（π／１０）ｔａｎ（π／５）

　確かにシンプル．

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