■サマーヴィルの等面四面体(その738)

 (その732)〜(その737)での検討から,△n柱のn+1個の頂点の2次元投影図は正三角形の1頂点に2点が重なり,その対辺上にn−1点が載っているというものであった.△n+1 in △nのほうが考えやすいのであるが,以下の例のばあい,△5を作るにはP1の上にもう1点があるだけで投影図のx軸上に他の点が等間隔で載っていることがわかるだろう.

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 △4について,

  P0(1/2,(√5)/2,0,(√10)/2)

  P1(0,  0,     0,      0)

  P2(2,  0,     0,      0)

  P3(3/2,(√5)/2,(√10)/2,0)

  P4(1,  √5,    0,      0)

P0P1=P1P2=P2P3=P3P4

P0P2=P1P3=P2P4

P0P3=P1P4

P0P4

  a=(0,0,0,1)

  b=(√10/4,√2/4,0,1/2)

  c=(√10/4,−√2/4,−1/2,0)

  d=(0,0,1,0)

  e=(0,1/√2,−1/2,−1/2)

[1]P1P2P3P4を通る超平面:a

[2]P0P2P3P4を通る超平面:b

[3]P0P1P3P4を通る超平面:c

[4]P0P1P2P4を通る超平面:d

[5]P0P1P2P3を通る超平面:e

a・b=1/2 (P234)*

a・c=0 (P134)

a・d=0 (P124)

a・e=−1/2 (P123)**

b・c=1/2 (P034)・・・P04が入って60°

b・d=0  (P024)

b・e=0 (P023)

c・d=−1/2 (P014)・・・P04が入って60°

c・e=0  (P013)

d・e=−1/2 (P012)*

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