連続するｋ個の自然数の積

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）

がｋ！で割り切れることは

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／ｋ！

が整数であることがいえればよいのであるが，

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／ｋ！＝nＣk

すなわち，二項係数はその定義から組み合わせの総数＝整数であるから明らかであろう．

　ｎの倍数は連続するｎ個の自然数ごとに１個存在するから，連続するｋ個の自然数ｎ〜ｎ−ｋ＋１までの間に２の倍数は少なくとも［ｋ／２］個，３の倍数は少なくとも［ｋ／３］個，・・・

　しかし，

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）

がｋ！で割り切れることは，加法・乗法・除法に関わる定理としてみるには決して自明ではない．実際，ガウスやディリクレは純粋に算術的な証明を与えようとして悪戦苦闘したと伝えられている．

　算術の難しい定理も，組み合わせ論の視点からみれば易しい定理であることはあり得るのである．

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