■ある無限級数(その157)

[Q]Σn/2^n=1/2+2/4+3/8+・・・=?

[A]2

[Q]Σ1/2^n=1/2+1/4+1/8+・・・=?

[A]1

 それでは

[Q]Σ1/n2^n=1/2+1/2・4+1/3・8+・・・=?

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 Σ1/n2^n<Σ1/2^n=1

はすぐわかるが,

  S=Σ1/n・2^n=1/1・2+1/2・4+1/3・8+・・・+1/n2^n

  1/2・S=          1/1・4+1/2・8+1/3・8+・・・+1/n・2^n+1

辺々差し引くと

  1/2・S=1/2+(1/2−1/1)/4+(1/3−1/2)/8+・・・+(1/n−1/(n−1))/2^n−1/n2^n-1

しかし,この先が続かない.

 交代調和級数

  1−1/2+1/3−1/4+・・・+(−1)^n+11/n+・・・=log2

はよく知られている.

 それに対して,オイラーが導いた級数

Σ1/k2^k=1/1・2+1/2・4+1/3・8+1/4・16+・・・

=log2

はあまり知られていないと思う.この公式は2進法で表したlog2のある特定の桁(たとえば1000兆桁目)の数字を計算するのに使える公式となっている.

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[雑感] 「岩波数学公式」の調べてみたところ,

Σ1/k2^k=log2

は掲っていなかったが

Σ1/k^22^k=π^2/12−1/2・(log2)^2

が掲っていた.

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