（その１３５）のやり直し．

1/(1^2+a^2) + 1/(2^2+ a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(4^2+

a^2) +･･･

＝-1/(2a^2) + (π/(2a))・(e^(2aπ)+1)/( e^(2aπ)-1)

＝-1/(2a^2) + (π/(2a))／ｔａｎｈ（ａπ）

＝-1/(2a^2) − (π/(2|a|))／ｔａｎ（｜ａ｜π）　　（ａが純虚数のとき）

ａ＝ｉ／６を代入すると

左辺＝１／（１^2−１^2／６^2）＋１／（２^2−１^2／６^2）＋１／（３^2−１^2／６^2）＋・・・

＝３｛｛１／（１−１／６）−１／（１＋１／６）｝＋｛１／（２−１／６）−１／（２＋１／６）｝＋｛１／（３−１／６）−１／（３＋１／６）｝＋・・・｝

＝３｛｛１／（５／６）−１／（７／６）｝＋｛１／（１１／６）−１／（１３／６）｝＋｛１／（１７／６）−１／（１９／６）｝＋・・・｝

＝１８｛｛１／５−１／７｝＋｛１／１１−１／１３｝＋｛１／１７−１／１９＋・・・｝

＝１８Σ｛１／（６ｋ−１）−１／（６ｋ＋１）｝

右辺＝１８−（３π）／ｔａｎ（π／６）

Σ｛１／（６ｋ−１）−１／（６ｋ＋１）｝＝１−π／６／ｔａｎ（π／６）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ａ＝２ｉ／６を代入すると

左辺＝１／（１^2−２^2／６^2）＋１／（２^2−２^2／６^2）＋１／（３^2−２^2／６^2）＋・・・

＝３／２｛｛１／（１−２／６）−１／（１＋２／６）｝＋｛１／（２−２／６）−１／（２＋２／６）｝＋｛１／（３−２／６）−１／（３＋２／６）｝＋・・・｝

＝３／２｛｛１／（４／６）−１／（８／６）｝＋｛１／（１０／６）−１／（１４／６）｝＋｛１／（１６／６）−１／（２０／６）｝＋・・・｝

＝９｛｛１／４−１／６｝＋｛１／１０−１／１４｝＋｛１／１６−１／２０）＋・・・｝

＝９Σ｛１／（６ｋ−２）−１／（６ｋ＋２）｝

右辺＝９／２−（３π／２）／ｔａｎ（２π／６）

Σ｛１／（６ｋ−２）−１／（６ｋ＋２）｝＝１／２−（π／６）／ｔａｎ（２π／６）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ａ＝３ｉ／６を代入すると

左辺＝１／（１^2−３^2／６^2）＋１／（２^2−３^2／６^2）＋１／（３^2−３^2／６^2）＋・・・

＝｛｛１／（１−３／６）−１／（１＋３／６）｝＋｛１／（２−３／６）−１／（２＋３／６）｝＋｛１／（３−３／６）−１／（３＋３／６）｝＋・・・｝

＝｛｛１／（３／６）−１／（９／６）｝＋｛１／（９／６）−１／（１５／６）｝＋｛１／（１５／５）−１／（２１／６）｝＋・・・｝

＝６｛｛１／３−１／９｝＋｛１／９−１／１５｝＋｛１／１５−１／２１）＋・・・｝

＝６｛１／（６ｋ−３）−１／（６ｋ＋３）｝

右辺＝２−（π）／ｔａｎ（３π／６）

Σ｛１／（６ｋ−３）−１／（６ｋ＋３）｝＝１／３−π／６／ｔａｎ（３π／６）

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ａ＝４ｉ／６を代入すると

左辺＝１／（１^2−４^2／６^2）＋１／（２^2−４^2／６^2）＋１／（３^2−４^2／６^2）＋・・・

＝３／４｛｛１／（１−４／６）−１／（１＋４／６）｝＋｛１／（２−４／６）−１／（２＋４／６）｝＋｛１／（３−４／６）−１／（３＋４／６）｝＋・・・｝

＝３／４｛｛１／（２／６）−１／（１０／６）｝＋｛１／（８／６）−１／（１６／６）｝＋｛１／（１４／６）−１／（２２／５）｝＋・・・｝

＝１８／４｛｛１／２−１／１０｝＋｛１／８−１／１６｝＋｛１／１４−１／２２）＋・・・｝

＝１８／４｛１／（６ｋ−４）−１／（６ｋ＋４）｝

右辺＝９／８−（３π／４）／ｔａｎ（４π／６）

Σ｛１／（６ｋ−４）−１／（６ｋ＋４）｝＝１／４−π／６／ｔａｎ（４π／５）

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ａ＝５ｉ／６を代入すると

左辺＝１／（１^2−５^2／６^2）＋１／（２^2−５^2／６^2）＋１／（３^2−５^2／６^2）＋・・・

＝３／５｛｛１／（１−５／６）−１／（１＋５／６）｝＋｛１／（２−５／６）−１／（２＋５／６）｝＋｛１／（３−５／６）−１／（３＋５／６）｝＋・・・｝

＝３／５｛｛１／（１／６）−１／（１１／６）｝＋｛１／（７／６）−１／（１７／６）｝＋｛１／（１５／６）−１／（２３／５）｝＋・・・｝

＝１８／５｛｛１／１−１／１１｝＋｛１／７−１／１７｝＋｛１／１５−１／２３）＋・・・｝

＝１８／５｛１／（６ｋ−５）−１／（６ｋ＋５）｝

右辺＝１８／２５−（３π／５）／ｔａｎ（５π／６）

Σ｛１／（６ｋ−５）−１／（６ｋ＋５）｝＝１／５−π／６／ｔａｎ（５π／６）

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　６の倍数の項のない交代級数

Σ｛１／（６ｋ−５）−１／（６ｋ−４）＋１／（６ｋ−３）−１／（６ｋ−２）＋１／（６ｋ−１）−１／（６ｋ＋１）＋１／（６ｋ＋２）−１／（６ｋ＋３）＋１／（６ｋ＋４）−１／（６ｋ＋５）｝＝

＋１／５−π／６／ｔａｎ（５π／６）

−１／４＋π／６／ｔａｎ（４π／６）

＋１／３−（π／５）／ｔａｎ（３π／６）

−１／２＋π／６／ｔａｎ（２π／６）

＋１−π／６／ｔａｎ（２π／６）

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