（その１３５）のやり直し．

1/(1^2+a^2) + 1/(2^2+ a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(4^2+

a^2) +･･･

＝-1/(2a^2) + (π/(2a))・(e^(2aπ)+1)/( e^(2aπ)-1)

＝-1/(2a^2) + (π/(2a))／ｔａｎｈ（ａπ）

＝-1/(2a^2) − (π/(2|a|))／ｔａｎ（｜ａ｜π）　　（ａが純虚数のとき）

ａ＝ｉ／５を代入すると

左辺＝１／（１^2−１^2／５^2）＋１／（２^2−１^2／５^2）＋１／（３^2−１^2／５^2）＋・・・

＝５／２｛｛１／（１−１／５）−１／（１＋１／５）｝＋｛１／（２−１／５）−１／（２＋１／５）｝＋｛１／（３−１／５）−１／（３＋１／５）｝＋・・・｝

＝５／２｛｛１／（４／５）−１／（６／５）｝＋｛１／（９／５）−１／（１１／５）｝＋｛１／（１４／５）−１／（１６／５）｝＋・・・｝

＝２５／２｛｛１／４−１／６｝＋｛１／９−１／１１｝＋｛１／１４−１／１６＋・・・｝

＝２５／２Σ｛１／（５ｋ−１）−１／（５ｋ＋１）｝

右辺＝２５／２−（５π／２）／ｔａｎ（π／５）

Σ｛１／（５ｋ−１）−１／（５ｋ＋１）｝＝１−π／５／ｔａｎ（π／５）

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ａ＝２ｉ／５を代入すると

左辺＝１／（１^2−２^2／５^2）＋１／（２^2−２^2／５^2）＋１／（３^2−２^2／５^2）＋・・・

＝５／４｛｛１／（１−２／５）−１／（１＋２／５）｝＋｛１／（２−２／５）−１／（２＋２／５）｝＋｛１／（３−２／５）−１／（３＋２／５）｝＋・・・｝

＝５／４｛｛１／（３／５）−１／（７／５）｝＋｛１／（８／５）−１／（１２／５）｝＋｛１／（１３／５）−１／（１７／５）｝＋・・・｝

＝２５／４｛｛１／３−１／７｝＋｛１／８−１／１２｝＋｛１／１３−１／１７）＋・・・｝

＝２５／４Σ｛１／（５ｋ−２）−１／（５ｋ＋２）｝

右辺＝２５／８−（５π／４）／ｔａｎ（２π／５）

Σ｛１／（５ｋ−２）−１／（５ｋ＋２）｝＝１／２−（π／５）／ｔａｎ（２π／５）

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ａ＝３ｉ／５を代入すると

左辺＝１／（１^2−３^2／５^2）＋１／（２^2−３^2／５^2）＋１／（３^2−３^2／５^2）＋・・・

＝５／６｛｛１／（１−３／５）−１／（１＋３／５）｝＋｛１／（２−３／５）−１／（２＋３／５）｝＋｛１／（３−３／５）−１／（３＋３／５）｝＋・・・｝

＝５／６｛｛１／（２／５）−１／（８／５）｝＋｛１／（７／５）−１／（１３／５）｝＋｛１／（１２／５）−１／（１８／５）｝＋・・・｝

＝２５／６｛｛１／２−１／８｝＋｛１／７−１／１３｝＋｛１／１２−１／１８）＋・・・｝

＝２５／６｛１／（５ｋ−３）−１／（５ｋ＋３）｝

右辺＝２５／１８−（５π／６）／ｔａｎ（３π／５）

Σ｛１／（５ｋ−３）−１／（５ｋ＋３）｝＝１／３−π／５／ｔａｎ（３π／５）

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ａ＝４ｉ／５を代入すると

左辺＝１／（１^2−４^2／５^2）＋１／（２^2−４^2／５^2）＋１／（３^2−４^2／５^2）＋・・・

＝５／８｛｛１／（１−４／５）−１／（１＋４／５）｝＋｛１／（２−４／５）−１／（２＋４／５）｝＋｛１／（３−４／５）−１／（３＋４／５）｝＋・・・｝

＝５／８｛｛１／（１／５）−１／（９／５）｝＋｛１／（６／５）−１／（１４／５）｝＋｛１／（１６／５）−１／（１９／５）｝＋・・・｝

＝２５／８｛｛１／１−１／９｝＋｛１／６−１／１４｝＋｛１／１６−１／１９）＋・・・｝

＝２５／８｛１／（５ｋ−４）−１／（５ｋ＋４）｝

右辺＝２５／３２−（５π／８）／ｔａｎ（４π／５）

Σ｛１／（５ｋ−４）−１／（５ｋ＋４）｝＝１／４−π／５／ｔａｎ（４π／５）

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　５の倍数の項のない交代級数

Σ｛１／（５ｋ−４）−１／（５ｋ−３）＋１／（５ｋ−２）−１／（５ｋ−１）＋１／（５ｋ＋１）−１／（５ｋ＋２）＋１／（５ｋ＋３）−１／（５ｋ＋４）｝＝

＋１／４−π／５／ｔａｎ（４π／５）

−１／３＋π／５／ｔａｎ（３π／５）

＋１／２−（π／５）／ｔａｎ（２π／５）

−１＋π／５／ｔａｎ（π／５）

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