（その１３５）のやり直し．

1/(1^2+a^2) + 1/(2^2+ a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(4^2+

a^2) +･･･

＝-1/(2a^2) + (π/(2a))・(e^(2aπ)+1)/( e^(2aπ)-1)

＝-1/(2a^2) + (π/(2a))／ｔａｎｈ（ａπ）

＝-1/(2a^2) − (π/(2|a|))／ｔａｎ（｜ａ｜π）　　（ａが純虚数のとき）

ａ＝ｉ／４を代入すると

左辺＝１／（１^2−１^2／４^2）＋１／（２^2−１^2／４^2）＋１／（３^2−１^2／３^2）＋・・・

＝２｛｛１／（１−１／４）−１／（１＋１／４）｝＋｛１／（２−１／４）−１／（２＋１／４）｝＋｛１／（３−１／４）−１／（３＋１／４）｝＋・・・｝

＝２｛｛１／（３／４）−１／（５／４）｝＋｛１／（７／４）−１／（９／４）｝＋｛１／（１１／４）−１／（１３／４）｝＋・・・｝

＝８｛｛１／３−１／５｝＋｛１／７−１／９｝＋｛１／１１−１／１３＋・・・｝

＝８Σ｛１／（４ｋ−１）−１／（４ｋ＋１）｝

右辺＝８−（２π）／ｔａｎ（π／４）

Σ｛１／（４ｋ−１）−１／（４ｋ＋１）｝＝１−π／４／ｔａｎ（π／４）

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ａ＝２ｉ／４を代入すると

左辺＝１／（１^2−２^2／４^2）＋１／（２^2−２^2／４^2）＋１／（３^2−２^2／３^2）＋・・・

＝｛｛１／（１−２／４）−１／（１＋２／４）｝＋｛１／（２−２／４）−１／（２＋２／４）｝＋｛１／（３−２／４）−１／（３＋２／４）｝＋・・・｝

＝｛｛１／（２／４）−１／（６／４）｝＋｛１／（６／４）−１／（１０／４）｝＋｛１／（１０／４）−１／（１４／４）｝＋・・・｝

＝４｛｛１／２−１／６｝＋｛１／６−１／１０｝＋｛１／１０−１／１４）＋・・・｝

＝４Σ｛１／（４ｋ−２）−１／（４ｋ＋２）｝

右辺＝２

Σ｛１／（４ｋ−２）−１／（４ｋ＋２）｝＝１／２

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ａ＝３ｉ／４を代入すると

左辺＝１／（１^2−３^2／４^2）＋１／（２^2−３^2／４^2）＋１／（３^2−３^2／３^2）＋・・・

＝２／３｛｛１／（１−３／４）−１／（１＋３／４）｝＋｛１／（２−３／４）−１／（２＋３／４）｝＋｛１／（３−３／４）−１／（３＋３／４）｝＋・・・｝

＝２／３｛｛１／（１／４）−１／（７／４）｝＋｛１／（５／４）−１／（１１／４）｝＋｛１／（９／４）−１／（１１／４）｝＋・・・｝

＝８／３｛｛１／１−１／７｝＋｛１／５−１／１１｝＋｛１／９−１／１１）＋・・・｝

＝８／３Σ｛１／（４ｋ−３）−１／（４ｋ＋３）｝

右辺＝８／９−（２π／３）／ｔａｎ（３π／４）

Σ｛１／（４ｋ−３）−１／（４ｋ＋３）｝＝１／３−π／４／ｔａｎ（３π／４）

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　４の倍数の項のない交代級数

Σ｛１／（４ｋ−３）−１／（４ｋ−２）＋１／（４ｋ−１）−１／（４ｋ＋１）＋１／（４ｋ＋２）−１／（４ｋ＋３）｝＝

１／３−π／４／ｔａｎ（３π／４）

−１／２

＋１−π／４／ｔａｎ（π／４）＝５／６

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