１／２−１／４＋１／５−１／７＋１／８−１／１０＋・・・

＝１−（π／３）／ｔａｎ（π／３）

　ここまれくれば，ｐはフェルマー素数でなくとも

１／（ｐ−１）−１／（ｐ＋１）＋１／（２ｐ−１）−１／（２ｐ＋１）−１／（３ｐ−１）−１／（３ｐ＋１）＋・・・

＝１−（π／ｐ）／ｔａｎ（π／ｐ）

は間違いないところであろう．

　あとはｐが奇数のとき，ａ＝π／ｐ，２π／ｐ，・・・（ｐ−１）π／ｐを代入すればよいことになるが，実際はａ＝π／ｐ，２π／ｐ，・・・，［ｐ／２］π／ｐで十分である．

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［雑感］１／（ｐ−１）−１／（ｐ＋１）＋１／（２ｐ−１）−１／（２ｐ＋１）−１／（３ｐ−１）−１／（３ｐ＋１）＋・・・

＝１−（π／ｐ）／ｔａｎ（π／ｐ）

は，以下の公式の仲間とみなすことができそうだ．

［１］すべての素数をわたる無限積

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝５／３・１０／８・２６／２４・５０／４８・・・＝５／２

　　Π（ｐ^4＋１）／（ｐ^4−１）＝ζ（４）^2／ζ（８）＝１０９／９０

が成り立つ．

［２］すべての整数をわたる無限積

　　２／１・２／３・４／３・４／５・６／５・６／７・・・＝π／２

　　Π２ｎ／（２ｎ−１）・２ｎ／（２ｎ＋１）

＝Πｎ／（ｎ−１／２）・ｎ／（ｎ＋１／２）

＝Γ（１／２）Γ（３／２）／Γ（１）Γ（１）＝２Γ^2（３／２）

＝π／２

（１−１／４）（１−１／９）（１−１／１６）・・・（１−１／ｎ^2）

＝（１・３／２・２）・（２・４／３・３）・（３・５）／（４・４）・・・（ｎ−１）（ｎ＋１）／ｎ^2

＝（ｎ＋１）／２ｎ→１／２

（１−１／４）（１−１／１６）（１−１／２５）・・・（１−１／４ｎ^2）

＝（１・３／２・２）・（３・５）／（４・４）・・・（２ｎ−１）／（２ｎ＋１）／２ｎ・２ｎ

→２／π　　（ウォリスの公式）

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