杉岡幹生氏に教えていただいた５の倍数の項のない交代級数

1-1/2+1/3-1/4+1/6-1/7+1/8-1/9+1/11-1/12+1/13-1/14+1/16-1/17+･･･

＝(π/5){√(1+2/√5)-√(1-2/√5)}

＝(π/5)√(2-2/√5)

＝(π/5)／sin(2π/5)

＝(2π/5)／2sin(2π/5)

は少なくともフェルマー素数の場合はうまく行くのではないかと直観される．とはいってもｐ＝１７，２５７，６５５３７では骨が折れるから，ｐ＝３の場合を調べてみたい．

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1/(1^2+a^2) + 1/(2^2+ a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(4^2+

a^2) +･･･

＝-1/(2a^2) + (π/(2a))・(e^(2aπ)+1)/( e^(2aπ)-1)

＝-1/(2a^2) + (π/(2a))／ｔａｎｈ（ａπ）

＝-1/(2a^2) − (π/(2|a|))／ｔａｎ（｜ａ｜π）　　（ａが純虚数のとき）

ａ＝ｉ／３を代入すると

左辺＝１／（１^2−１／３^2）＋１／（２^2−１／３^2）＋１／（３^2−１／３^2）＋・・・

＝３／２｛｛１／（１−１／３）−１／（１＋１／３）｝＋｛１／（２−１／３）−１／（２＋１／３）｝＋｛１／（３−１／３）−１／（３＋１／３）｝＋・・・｝

＝３／２｛｛１／（２／３）−１／（４／３）｝＋｛１／（５／３）−１／（７／３）｝＋｛１／（８／３）−１／（１０／３）｝＋・・・｝

＝９／２｛｛１／２−１／４｝＋｛１／５−１／７｝＋｛１／８−１／１０｝＋・・・｝

＝９／２｛１／２−１／４＋１／５−１／７＋１／８−１／１０＋・・・｝

右辺＝９／２−（３π／２）／ｔａｎ（π／３）

１／２−１／４＋１／５−１／７＋１／８−１／１０＋・・・

＝１−（π／３）／ｔａｎ（π／３）

−１／２＋１／４−１／５＋１／７−１／８＋１／１０−・・・

＝−１＋（π／３）／ｔａｎ（π／３）

１−１／２＋１／４−１／５＋１／７−１／８＋１／１０−・・・

＝（π／３）／ｔａｎ（π／３）

＝（π／３√３）

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