３次元正単体の４頂点

ｖ1（＋１／２，−１／√１２，−１／√２４）

ｖ2（−１／２，−１／√１２，−１／√２４）

ｖ3（　　　０，＋２／√１２，−１／√２４）

ｖ4（　　　０，　　　　　０，＋３／√２４）

を回転した結果をｘ軸方向に−ｓだけシフトすると

　　Ａ（７／√５４，５／√２７０）

　　Ｄ（７／√５４，−５／√２７０）

　　Ｃ（−３／√５４，１５／√２７０）

　　Ｂ（−３／√５４，−１５／√２７０）

に一致すると仮定する．

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　ｘ＝（ｘ1，ｘ1，ｘ2）

　ｙ＝（ｙ1，−ｙ1，ｙ2）

　ｘs＝（ｘ1＋ｓ，ｘ1＋ｓ，ｘ2＋ｓ）

とおく．

３×３行列ｖ＝［ｖ1，ｖ2，ｖ3］の逆行列ｖ^-1をｕとする．

ｕ＝［ｕ11，ｕ12，ｕ13］

　　［ｕ21，ｕ22，ｕ23］

　　［ｕ31，ｕ32，ｕ33］

未知数ｓを含む２×３行列

［ｘ1＋ｓ，ｘ1＋ｓ，ｘ2＋ｓ］

［ｙ1，　　　−ｙ1，　　ｙ2］

との積の２×３行列を

ｒ＝［ｒ11，ｒ12，ｒ13］

　　［ｒ21，ｒ22，ｒ23］

とする．

ｒ1 ＝［ｒ11］＝［ｓｕｍｕ1ｓ＋ｘ・ｕ1］

　　　［ｒ12］　［ｓｕｍｕ2ｓ＋ｘ・ｕ2］

　　　［ｒ13］　［ｓｕｍｕ3ｓ＋ｘ・ｕ3］

｜ｒ1｜^2＝（Σｓｕｍｕi^2）ｓ^2＋２（Σｓｕｍｕi（ｘ・ｕi））ｓ＋（Σ（ｘ・ｕi）^2）

また，｜ｒ2｜^2＝Σ（ｙ・ｕi）^2

｜ｒ1｜^2＝｜ｒ2｜^2となるｓは，２次方程式

（Σｓｕｍｕi^2）ｓ^2＋２（Σｓｕｍｕi（ｘ・ｕi））ｓ＋（Σ（ｘ・ｕi）^2−Σ（ｙ・ｕi）^2）＝０

の解である．

　２解とも直交行列の条件

　　ｒ11^2＋ｒ12^2＋ｒ13^2＝ｒ21^2＋ｒ22^2＋ｒ23^2

を満たしている．

　しかし，

　［　ｘ3］＝［ｒ11，ｒ12，ｒ13］［ｖ4］

　［−ｙ3］　［ｒ21，ｒ22，ｒ23］

に移るのは一方だけである．同時に

　　ｒ11ｒ21＋ｒ12ｒ22＋ｒ13ｒ23＝０

も満たす．

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