交代級数

1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+1/9-1/10+1/11-･･･=log2

はよく知られています．

　５の倍数の項だけを取り出すと

1/5-1/10+1/15-1/20+･･･=1/5{1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+1/9-1/10+1/11-･･･}=1/5･log2

　したがって，元の交代級数から５の倍数の項だけを取り除くと

1-1/2+1/3-1/4-1/6+1/7-1/8+1/9+1/11-・・・=4/5･log2

となります．

［Ｑ］これとは似ているが少し違う５の倍数の項のない交代級数

1-1/2+1/3-1/4+1/6-1/7+1/8-1/9+1/11-1/12+1/13-1/14+1/16-1/17+･･･

の値は？

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　交代級数から５の倍数の項だけを取り除いた

1-1/2+1/3-1/4+1/6-1/7+1/8-1/9+1/11-1/12+1/13-1/14+1/16-1/17+･･･

と比較すると

1-1/2+1/3-1/4→1-1/2+1/3-1/4

-1/6+1/7-1/8+1/9→-(-1/6+1/7-1/8+1/9)

1/11-1/12+1/13-1/14→1/11-1/12+1/13-1/14

すなわち，４項ずつ交代する．

　杉岡幹生氏から教えてもらったのですが，この値は「ゼータの香りの漂う公式」

1/(1^2+a^2) + 1/(2^2+ a^2) + 1/(3^2+ a^2) + 1/(4^2+

a^2) +･･･

＝-1/(2a^2) + (π/(2a))・(e^(2aπ)+1)/( e^(2aπ)-1)

から初等的に求めることができるそうです．

　その答えはここには出しませんが，非常に面白い結果になります．近々，杉岡幹生氏にこの結果をまとめて発表してもらうことになっています．乞うご期待．

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