［１］漸化式から母関数へ

　たとえば，漸化式：ａn＝２ａn-1＋ａn-2　（ｎ≧２），ａ0＝１，ａ1＝３を考える．

　その母関数を

　　ｆ（ｘ）＝Σａnｘ^n　（ｎ≧０）

とおくと，

　　ａnｘ^n＝２ｘａn-1ｘ^n-1＋ｘ^2ａn-2ｘ^n-2　（ｎ≧２）

　　Σａnｘ^n＝２ｘΣａn-1ｘ^n-1＋ｘ^2Σａn-2ｘ^n-2

　　ｆ（ｘ）−１−３ｘ＝２ｘ｛ｆ（ｘ）−１｝＋ｘ^2ｆ（ｘ）

　　ｆ（ｘ）＝１＋ｘ＋２ｘｆ（ｘ）＋ｘ^2ｆ（ｘ）

ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ）／（１−２ｘ−ｘ^2）

ｆ（ｘ）＝1/2／（１−αｘ）+1/2／（１−βｘ）

　　α＝１＋√２，β＝１−√２

　　ａn＝（α^n+1＋β^n+1）／２

　　ｎ→∞のとき，（ａn）^1/n→１＋√２

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［２］母関数から漸化式へ

　ポリオミノ数の母関数

ｆ（ｘ）＝ｘ（１−ｘ）^3／（１−５ｘ＋７ｘ^2−４ｘ^3）

からは，漸化式：

　　ａn＝５ａn-1−７ａn-2＋４ａn-3

が得られる．

　｛ａn｝の一般項を示すのは難しそうであるが，

　　ｘ^3−５ｘ^2＋７ｘ−４＝０

の根で，絶対値が最大のものをθとおくと

　　ｎ→∞のとき，（ａn）^1/n→θ〜３．２

となる．

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