整数係数２元２次形式

　ｘ’Ｑｘ＝ａｘ^2＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2＝Ｑ（ｘ，ｙ）

　Ｑ＝［ａ，ｂ／２］，ｘ＝［ｘ］

　　　［ｂ／２，ｃ］　　　［ｙ］

において，不定方程式Ｑ（ｘ，ｙ）＝ｍのすべての整数解を定める算法について考察してきたが，

　　ｘ^2＋ｆｙ^2＝ｍ

はそれを簡略化したものである．

　（その４４）において，［オイラーの定理］ｐ＝２またはｐ＝１　ｍｏｄ４はどれも２つの平方数の和として表されるの証明において，フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ＋ｂｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

を用いたが，たとえば，

　　ｘ^2＋５ｙ^2＝ｍ，ｄ＝−２０

の解法では，以下の３恒等式を同様の恒等式として使うことになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　（ｍ1ｘ^2＋ξｘｙ＋ｍ2ηｙ^2）（ｍ2ｕ^2＋ξｕｖ＋ｍ1ηｖ^2）

＝ｍ1ｍ2ＸＹ＋ξＸＹ＋ηＹ^2

Ｘ＝ｘｕ−ηｙｖ，Ｙ＝ｍ1ｘｖ＋ｍ2ｙｕ＋ξｙｖ

［１］ｍ1＝１，ｍ2＝１，ξ＝０，η＝５

［２］ｍ1＝２，ｍ2＝３，ξ＝２，η＝１

［３］ｍ1＝１，ｍ2＝２，ξ＝２，η＝３

［１］（ｘ1^2＋５ｙ1^2）（ｘ2^2＋５ｙ2^2）＝（ｘ1ｘ2−５ｙ1ｙ2）^2＋５（ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1）^2

［２］（２ｘ1^2＋２ｘ1ｙ1＋３ｙ1^2）（２ｘ2^2＋２ｘ2ｙ2＋３ｙ2^2）＝（２ｘ1ｘ2＋ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1＋３ｙ1ｙ2）^2＋５（ｘ1ｙ2＋ｘ2ｙ1）^2

［３］（ｘ1^2＋５ｙ1^2）（２ｘ2^2＋２ｘ2ｙ2＋３ｙ2^2）＝２（２ｘ1ｘ2−ｘ1ｙ1−３ｙ1ｙ2）^2＋２（２ｘ1ｘ2−ｘ1ｙ1−３ｙ1ｙ2）（２ｘ1ｙ2＋２ｘ2ｙ1＋２ｙ1ｙ2）＋（２ｘ1ｙ2＋２ｘ2ｙ1＋２ｙ1ｙ2）^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝