［定理］−１は４ｎ＋１型素数の平方剰余であり，４ｎ＋３型素数の平方非剰余である．

（２／ｐ）＝＋１・・・ｐが４ｎ＋１型素数のとき

　　　　　＝−１・・・ｐが４ｎ＋３型素数のとき

［定理］４ｎ＋１型素数はどれも２つの平方数の和として表される．

　ｘ^2＋ｙ^2＝ｐが整数解をもつ

は，

　Ｄ＝−４，ｈ（−４）＝１を意味しているというわけである．

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［オイラーの定理］ｐ＝２またはｐ＝１　ｍｏｄ４はどれも２つの平方数の和として表される．

［証］フェルマーの小定理より，ａ^2＋１＝０　（ｍｏｄｐ）なる整数ａが存在する．よって，あるｕ，ｖについてｕ^2＋ｖ^2＝０　（ｍｏｄｐ）

なら，ｎ＝ｕ0^2＋ｖ0^2となる整数ｕ0，ｖ0が存在することを示せれば十分である．

　そこで，ｕ＝ｕ1，ｖ＝ｖ1　（ｍｏｄｎ），｜ｕ1｜，｜ｖ1｜≦ｎ／２

と定める．このとき，ｕ1^2＋ｖ1^2＝ｎｎ1，０≦ｎ1≦ｎ／２

　操作を繰り返し，ｕ1＝αｎ1＋ｕ2，ｖ1＝βｎ1＋ｖ2，｜ｕ2｜，｜ｖ2｜≦ｎ／２とし，ｗ＝αｕ2＋βｖ2とおく．

　等式ｎｎ1＝ｎ1^2（α^2＋β^2）＋２ｎ1ｗ＋ｕ2^2＋ｖ2^2より，

ｕ2^2＋ｖ2^2＝ｎｎ2，０≦ｎ2≦ｎ1／２，かつ，

ｎ＝ｎ1^2（α^2＋β^2）＋２ｗ＋ｎ2

　ここで，フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ＋ｂｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

を用いて，

ｎ1ｎ2（α^2＋β^2）＝ｗ^2＋ｚ^2，ｚ＝ｕ2β−ｖ2α，つまり，

ｎｎ2＝（ｗ＋ｎ2）^2＋ｚ^2，以下省略．

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　ｎが２つの整数の平方和で表されることと，ｎの非平方な素因子＝３ｍｏｄ４がないことは同値である．

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