ここでは，ラグランジュ簡約，すなわち，判別式を同じくする代表的形式への変換

［１］Ｄ＝０　（ｍｏｄ４）←→

［ａ，ｂ，ｃ］＝［１，０，−Ｄ／４］，［１，２ｋ，ｋ^2−Ｄ／４］

［２］Ｄ＝１　（ｍｏｄ４）←→

［ａ，ｂ，ｃ］＝［１，１，（１−Ｄ）／４］，［１，２ｋ−１，ｋ（ｋ−１）＋（１−Ｄ）／４］

について考えたい．

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　代表の選定にあたって，ラグランジュ簡約条件：｜ｂ｜≦｜ａ｜≦｜ｃ｜が満たされるものに絞り込むことができることを考えると

［１］Ｄ＜０→ａ≦（｜Ｄ｜／３）^1/2

　｜Ｄ｜＝４ａｃ−ｂ^2≧３ａ^2

［２］Ｄ＞０→｜ａ｜≦（｜Ｄ｜／４）^1/2

　｜ａｃ｜≧ｂ^2，Ｄ＋ａｃ＞ａｃより，ａｃ＜０，

　４ａ^2≦４｜ａｃ｜＝−４ａｃ＝Ｄ−ｂ^2≦Ｄ　

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　原始的正定値形式Ｑ＝［ａ，ｂ，ｃ］とは

　　（ａ，ｂ，ｃ）＝１，Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ＜０，ａ＞０

はラグランジュ簡約条件の下，０＜ａ≦（｜Ｄ｜／３）^1/2のもとに

　　−ａ＜ｂ≦ａ＜ｃまたは０≦ｂ≦ａ＝ｃかつ（ａ，ｂ，ｃ）＝１

あるいは，判別式Ｄ＜０について類数ｈはこれらの条件を満たすＤ＝ｂ^2−４ａｃの解の個数に等しい．

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