【２】ラビノヴィッチの定理

　２次方程式

　　ｘ^2＋ｘ＋４１＝０

の解は

　　ｘ＝１／２（−１±√−１６３）

であり，虚２次体Ｑ（√−１６３）の理論と深く関係しているのですが，この不思議な性質も類数１に関するラビノヴィッチの定理から説明されます．

　一般に，ｆq（ｘ）が０≦ｘ≦ｑ−２なるすべてのｘについて素数となることと虚２次体Ｑ（√ｄ）との関係が，ラビノヴィッチにより示されています（１９１２年）．

［１］ｄ＝２，３（ｍｏｄ４）のとき

　　ｑ＝−ｄ　　　　　　　　

　　ｆq（ｘ）＝ｘ^2＋ｑ

［２］ｄ＝１（ｍｏｄ４）のとき

　　ｑ＝（１−ｄ）／４

　　ｆq（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋ｑ

とおきます．

　［２］がオイラーの公式に対応しているわけですが，連続する０≦ｘ≦ｑ−２に対してすべて素数になるには

　　「ｑが素数で，虚２次体Ｑ（√１−４ｑ）が類数１をもつときに限る．」

というのが，ラビノヴィッチの定理です．

　類数１については後述しますが，類数が１となる虚２次体Ｑ（√ｄ）は

　　−ｄ＝１，２，３，７，１１，１９，４３，６７，１６３

しかありません．［２］でｄ＝−１６３＝１（ｍｏｄ４）の場合を考えると，ｑ＝４１．したがって，

　　ｆq（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋４１

となります．このようにして，上の現象は虚２次体Ｑ（√−１６３）と関係していることがわかります．

　同様に，１変数の２次多項式

　　ｎ^2＋ｎ＋１７

も高い確率で素数を生成しますが，ｄ＝−６７＝１（ｍｏｄ４）の場合を考えると，ｑ＝１７ですから，虚２次体Ｑ（√−６７）と関係しているというわけです．

　　ｎ^2＋ｎ＋４１（０≦ｎ≦３９なるすべてのｎについて素数となる）　←→　Ｑ（√−１６３）

でしたが，以下同様に

　　ｎ^2＋ｎ＋１７（０≦ｎ≦１５）　←→　Ｑ（√−６７）

　　ｎ^2＋ｎ＋１１（０≦ｎ≦９）　　←→　Ｑ（√−４３）

　　ｎ^2＋ｎ＋５（０≦ｎ≦３）　　　←→　Ｑ（√−１９）

　　ｎ^2＋ｎ＋３（０≦ｎ≦１）　　　←→　Ｑ（√−１１）

　　ｎ^2＋ｎ＋２（０≦ｎ≦０）　　　←→　Ｑ（√−７）

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