「n^2+n+kがn=0〜k-2のとき素数になるには，0≦n≦√(k/3)のとき素数になることが必要十分である．」

　私自身数学の専門家でもましてや数論の専門家でもないので，詳しくは存じませんが，分母３は「ラグランジュ簡約」がものをいっているのではないかと思う．そのことを何回かに分けて調べてみたい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】オイラーの素数生成式

　オイラーの有名な素数生成式

　　ｎ^2＋ｎ＋４１

は，ｎ＝０のとき素数４１，ｎ＝１で素数４３，ｎ＝２で素数４７を与えます．このようにしてｎが０から３９までのどのｎをとってもオイラーの公式はすべて素数を与えます．オイラーの公式はｎ＝４０で１６８１＝４１^2となって破綻しますが，この式でこれほどたくさんの素数を作れるということは大変奇妙に感じられます．１０００万以下のｎに対して４７．５％の確率で素数を生成します．

　また，オイラーは，２次多項式

　　ｆq（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋ｑ

において，ｑが素数

　　２，３，５，１１，１７，４１

のとき，０からｑ−２を代入すると

　　ｆq（０），ｆq（１），・・・，ｆq（ｑ−２）

がすべて素数になることを観察しています．（ｆq（ｑ−１）＝ｑ^2は素数ではありません．）

　しかし，素数

　　７，１３，１９，２３，２９，３１，３７

に対して，このことは成立しません．これらの事実を確認するのは簡単ですが，しかしオイラーはどうやってこんな事実を見つけだしたのでしょうか．また，そうなる真の理由は何なのでしょうか．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝