■サマーヴィルの等面四面体(その713)

 (その712)は面倒そうなので,これを機会に計算を抜本的にやり直したい.

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[1]3次元の場合

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

P3(x2,−y2)

P4(x1,−y1)

とする.

cosξ=−2/3,sinξ=(√5)/3

cos(ξ/2)={(1+cosξ)/2}^1/2=√(1/6)

sin(ξ/2)={(1−cosξ)/2}^1/2=√(5/6)

 連続する3辺の長さが等しくなるためには

x1=cos(ξ/2)=√(1/6)

y1=sin(ξ/2)=√(5/6)

x2=cos(3ξ/2)=4cos^3(ξ/2)−3cos(ξ/2)

=4(1/6)√(1/6)−3√(1/6)=−7/3・√(1/6)

y2=sin(3ξ/2)=−4sin^3(ξ/2)+3sin(ξ/2)

=−4(5/6)√(5/6)+3√(5/6)=−1/3・√(5/6)

  x2=−√(1/6),y2=√(5/6)

  x1=√(49/54,y1=√(5/54)

に一致.

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[2]4次元の場合

P0(1,0)

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

P3(x2,−y2)

P4(x1,−y1)

とする.

cosξ=−1/4,sinξ=(√15)/4

 連続する4辺の長さが等しくなるためには

x1=cosξ=−1/4,y1=sinξ=(√15)/4

x2=cos2ξ=2・1/16−1=−7/8

y2=sin2ξ=−2・1/4・(√15)/4=−(√15)/8

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[雑感]驚くほど簡単だ.

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