連続するｋ個の自然数の積

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）

がｋ！で割り切れることは

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／ｋ！

が整数であることがいえればよいのであるが，

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／ｋ！＝nＣk

すなわち，組み合わせの総数＝整数であるから明らかであろう．また，ｎの倍数は連続するｎ個の自然数ごとに１個存在する．

　Ｎ1＝（２ａ＋２ｂ）！／ａ！ｂ！（ａ＋ｂ）！は整数である．

　Ｎ2＝（２ａ＋２ｂ）！／（２ａ）！（２ｂ）！は整数である．

しかし，

　Ｎ＝Ｎ1／Ｎ2＝（２ａ）！（２ｂ）！／ａ！ｂ！（ａ＋ｂ）！

が整数であるとは限らない．そこで，・・・

［Ｑ］（２ａ）！（２ｂ）！／ａ！ｂ！（ａ＋ｂ）！は整数であることを証明せよ．

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　ａ≧ｂとしても一般性は失われない．

　　２ａ≧（ａ＋ｂ）≧２ｂ≧ｂ，ａと２ｂの大小関係は不明．

　　ａ≧２ｂ，ａ＜２ｂで場合分けしなければいけないのかもしれないが，直接，割ってみると

Ｎ＝（２ａ）！（２ｂ）！／ａ！ｂ！（ａ＋ｂ）！

＝（ａ＋ｂ＋１）（ａ＋ｂ＋２）・・・（２ａ）・（ｂ＋１）（ｂ＋２）・・・（２ｂ）／ａ！

（ａ＋ｂ＋１）（ａ＋ｂ＋２）・・・（２ａ）の項数は

　　２ａ−（ａ＋ｂ）＝ａ−ｂ

であるから（ａ−ｂ）！で割り切れる．

（ｂ＋１）（ｂ＋２）・・・（２ｂ）の項数は

　　２ｂ−ｂ＝ｂ

であるからｂ！で割り切れる．

　しかし，このあつがうまくいかない．帰納法を使ってみたらどうだろうか？

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［１］ｂ＝０のとき

（２ａ）！／ａ！ａ！は整数　（ＯＫ）

［２］Ｎ＝（２ａ）！（２ｂ）！／ａ！ｂ！（ａ＋ｂ）！

＝（ａ＋ｂ＋１）（ａ＋ｂ＋２）・・・（２ａ）・（ｂ＋１）（ｂ＋２）・・・（２ｂ）／ａ！は整数であるとする．

Ｍ＝（２ａ）！（２ｂ＋２）！／ａ！（ｂ＋１）！（ａ＋ｂ＋１）！

Ｍ／Ｎ＝（２ｂ＋１）（２ｂ＋２）／（ｂ＋１）（ａ＋ｂ＋１）

＝２（２ｂ＋１）／（ａ＋ｂ＋１）

Ｍ＝２（２ｂ＋１）Ｎ／（ａ＋ｂ＋１）

Ｎ／（ａ＋ｂ＋１）が整数であればよいことになるが，

ａ！Ｎ＝（ａ＋ｂ＋１）（ａ＋ｂ＋２）・・・（２ａ）・（ｂ＋１）（ｂ＋２）・・・（２ｂ）

ａ！Ｎ／（ａ＋ｂ＋１）＝（ａ＋ｂ＋２）・・・（２ａ）・（ｂ＋１）（ｂ＋２）・・・（２ｂ）

において，１，・・・，ａは（ａ＋ｂ＋１）では割り切れない→Ｎは（ａ＋ｂ＋１）で割り切れる→Ｍは整数

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