■MOD算術(その26)

[Q]1/983を小数展開したとき,循環説の長さが982桁になることを証明せよ.

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[A]982=2・491であるが,まず,2^491=?(mod983)を定める

  491=1+2+2^3+2^5+2^6+2^7+2^8

2^2=4,2^2^2=16,2^2^2^3=16^2=256,

2^2^2^4=256^2=−325,

2^2^2^5=325^2=444,

2^2^2^6=444^2=−447,

2^2^2^7=447^2=260,

2^2^2^8=260^2=−227  (mod983)

2^491=2・4・256・444・(−447)・260・(−227)=1  (mod983)

2 (mod983)の位数は491

 同様に

5^2=25,5^2^2=125=−358

5^2^2^3=358^2=374,

5^2^2^4=374^2=290,

5^2^2^5=290^2=545,

5^2^2^6=545^2=159,

5^2^2^7=159^2=−277,

5^2^2^8=277^2=55  (mod983)

5^491=5・25・374・545・159・(−277)・55=−1  (mod983)

5 (mod983)の位数は982となり原始根である.

以上より

10^491=−1  (mod983)となり,原始根である.→1/983を小数展開したとき,循環説の長さが982桁になる.

 参考までに,3 (mod983)の位数も491となる.

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