［Ｑ］ｘ^3＋ｙ^3＝１７２９を満たす整数解（ｘ，ｙ）をすべて求めよ．

は１７２９がが２つの３乗数の和として表せることを示している．実は１７２９は２つの３乗数の和として２通りに表せる数なのであるが，ここではそのことにふれず，２つの３乗数で表せる数：Ｎ＝ｘ^3＋ｙ^3の特徴付けをおこないたい．

　４ｎ＋１型素数はどれも２つの平方数の和

　　Ｎ＝ｘ^2＋ｙ^2

として表されるから，Ｎを素数に限定してもよいかもしれないが，１７２９＝７・１３・１９であるから，当面Ｎは自然数としておきたい．

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　　ｘ＋ｙ＝Ａ，ｘ^2−ｘｙ＋ｙ^2＝Ｂ

　　ｘ^2−ｘ（Ａ−ｘ）＋（Ａ−ｘ）^2＝Ｂ

　　３ｘ^2−３Ａｘ＋Ａ^2−Ｂ＝０

　　ｘ＝１／６・｛３Ａ±（１２Ｂ−３Ａ^2）^1/2｝

は，Ｎが非素数であることを前提としている．

　また，１２Ｂ−３Ａ^2＝３Ｃ^2より，

　ｘ＋ｙ＝±（２ｍ^2−４ｍ−１）

　ｘ−ｙ＝±（２ｍ^2＋２ｍ−１）

がしたがうが（＋／＋）では

　２ｘ＝４ｍ^2−２ｍ−２，ｘ＝２ｍ^2−ｍ−１＝（ｍ−１）（２ｍ＋１）

　２ｙ＝−６ｍ，ｙ＝−３ｍ

（＋／−）では

　ｘ＋ｙ＝２ｍ^2−４ｍ−１

　ｘ−ｙ＝−２ｍ^2−２ｍ＋１

　２ｙ＝４ｍ^2−２ｍ−２，ｙ＝２ｍ^2−ｍ−１＝（ｍ−１）（２ｍ＋１）

　２ｘ＝−６ｍ，ｘ＝−３ｍ

（−／＋）では

　ｘ＋ｙ＝−２ｍ^2＋４ｍ＋１

　ｘ−ｙ＝−２ｍ^2−２ｍ＋１

　２ｘ＝−４ｍ^2＋２ｍ＋２，ｘ＝−２ｍ^2＋ｍ＋１

　２ｙ＝６ｍ，ｙ＝３ｍ

（−／−）では

　ｘ＋ｙ＝−２ｍ^2＋４ｍ＋１

　ｘ−ｙ＝２ｍ^2＋２ｍ−１

　２ｘ＝６ｍ，ｘ＝３ｍ

　２ｙ＝−４ｍ^2＋２ｍ＋２，ｙ＝−２ｍ^2＋ｍ＋１

基本的にはどれをとっても同じことになる．

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