■サマーヴィルの等面四面体(その702)

 n次元正単体のn+1個の頂点v1,v2,・・・,vn+1を単位円周上に写す.その際,4個の移り先(x1,±y1),(x2,±y2)は既知であるが,(x3,±y3)は未知である.それを求めたい.

  x1^2+y1^2=1,x2^2+y2^2=1,x3^2+y3^2=1

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 6次元正単体の7頂点

v1(+1/2,−1/√12,−1/√24,−1/√40,−1/√60,−1/√84)

v2(−1/2,−1/√12,−1/√24,−1/√40,−1/√60,−1/√84)

v3(   0,+2/√12,−1/√24,−1/√40,−1/√60,−1/√84)

v4(   0,     0,+3/√24,−1/√40,−1/√60,−1/√84)

v5(   0,     0,     0,+4/√40,−1/√60,−1/√84)

v6(   0,     0,     0,     0,+5/√60,−1/√84)

v7(   0,     0,     0,     0,     0,,+6/√84)

  x2=−((5+√7)/12)^1/2

  y2=((7−√7)/12)^1/2

  x1=(−4+√7)/3・x2

  y1=(2+√7)/3・y2

  投影図上P1P2=P2P3=P3P4となっている.

 v1〜v7を縦ベクトルとする.

v1[+1/2,−1/√12,−1/√24,−1/√40,−1/√60,−1/√84]’

v2[−1/2,−1/√12,−1/√24,−1/√40,−1/√60,−1/√84]’

v3[   0,+2/√12,−1/√24,−1/√40,−1/√60,−1/√84]’

v4[   0,     0,+3/√24,−1/√40,−1/√60,−1/√84]’

v5[   0,     0,     0,+4/√40,−1/√60,−1/√84]’

v6[   0,     0,     0,     0,+5/√60,−1/√84]’

v7[   0,     0,     0,     0,     0,,+6/√84]’

6×6行列v=[v1,v2,v3,v4,v5,v6]の逆行列v^-1をuとする.

u=[u11,u12,u13,u14,u15,u16]

  [u21,u22,u23,u24,u25,u26]

  [u31,u32,u33,u34,u35,u36]

  [u41,u42,u43,u44,u45,u46]

  [u51,u52,u53,u54,u55,u56]

  [u61,u62,u63,u64,u65,u66]

未知数(x3,±y3)を含む2×6行列

[x1, x1,x2, x2,x3, x3]

[y1,−y1,y2,−y2,y3,−y3]

との積の2×6行列を

r=[r11,r12,r13,r14,r15,r16]

  [r21,r22,r23,r24,r25,r26]

とする.

r11=x1u11+x1u21+x2u31+x2u41+x3u51+x3u61

r21=y1u11−y1u21+y2u31−y2u41+y3u51−y3u61

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 これは直交行列であって

  r11r21+r12r22+r13r23+r14r24+r15r25+r16r26=0→(OK)

  r11^2+r12^2+r13^2+r14^2+r15^2+r16^2=r21^2+r22^2+r23^2+r24^2+r25^2+r26^2→(NG)

この方程式を解いて(x3,y3)を求める.

 [x4]=[r11,r12,r13,r14,r15,r16][v7]

 [y4] [r21,r22,r23,r24,r25,r26]

(x4,y4)は(1,0)に移った.

 すなわち,直交条件だけを仮定することによって,解くことができた. 

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