ｎ次元正単体のｎ＋１個の頂点ｖ1，ｖ2，・・・，ｖn+1を単位円周上に写す．その際，４個の移り先（ｘ1，±ｙ1），（ｘ2，±ｙ2）は既知であるが，（ｘ3，±ｙ3）は未知である．それを求めたい．

　　ｘ1^2＋ｙ1^2＝１，ｘ2^2＋ｙ2^2＝１，ｘ3^2＋ｙ3^2＝１

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　５次元正単体の６頂点

ｖ1（＋１／２，−１／√１２，−１／√２４，−１／√４０，−１／√６０）

ｖ2（−１／２，−１／√１２，−１／√２４，−１／√４０，−１／√６０）

ｖ3（　　　０，＋２／√１２，−１／√２４，−１／√４０，−１／√６０）

ｖ4（　　　０，　　　　　０，＋３／√２４，−１／√４０，−１／√６０）

ｖ5（　　　０，　　　　　０，　　　　　０，＋４／√４０，−１／√６０）

ｖ6（　　　０，　　　　　０，　　　　　０，　　　　　０，＋５／√６０）

　　ｘ2＝−（（６＋√２１）／２０）^1/2

　　ｙ2＝（（１４−√２１）／２０）^1/2

　　ｘ1＝（−９＋√２１）／５・ｘ2

　　ｙ1＝（１＋√２１）／５・ｙ2

　　投影図上P1P2=P2P3=P3P4となっている．

　ｖ1〜ｖ6を縦ベクトルとする．

ｖ1［＋１／２，−１／√１２，−１／√２４，−１／√４０，−１／√６０］’

ｖ2［−１／２，−１／√１２，−１／√２４，−１／√４０，−１／√６０］’

ｖ3［　　　０，＋２／√１２，−１／√２４，−１／√４０，−１／√６０］’

ｖ4［　　　０，　　　　　０，＋３／√２４，−１／√４０，−１／√６０］’

ｖ5［　　　０，　　　　　０，　　　　　０，＋４／√４０，−１／√６０］’

ｖ6［　　　０，　　　　　０，　　　　　０，　　　　　０，＋５／√６０］’

５×５行列ｖ＝［ｖ1，ｖ2，ｖ3，ｖ4，ｖ5］の逆行列ｖ^-1をｕとする．

ｕ＝［ｕ11，ｕ12，ｕ13，ｕ14，ｕ15］

　　［ｕ21，ｕ22，ｕ23，ｕ24，ｕ25］

　　［ｕ31，ｕ32，ｕ33，ｕ34，ｕ35］

　　［ｕ41，ｕ42，ｕ43，ｕ44，ｕ45］

　　［ｕ51，ｕ52，ｕ53，ｕ54，ｕ55］

未知数（ｘ3，ｙ3）を含む２×５行列

［ｘ1，　ｘ1，ｘ2，　ｘ2，ｘ3］

［ｙ1，−ｙ1，ｙ2，−ｙ2，ｙ3］

との積の２×５行列を

ｒ＝［ｒ11，ｒ12，ｒ13，ｒ14，ｒ15］

　　［ｒ21，ｒ22，ｒ23，ｒ24，ｒ25］

とする．

ｒ11＝ｘ1ｕ11＋ｘ1ｕ21＋ｘ2ｕ31＋ｘ2ｕ41＋ｘ3ｕ51

ｒ21＝ｙ1ｕ11−ｙ1ｕ21＋ｙ2ｕ31−ｙ2ｕ41＋ｙ3ｕ51

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　これは直交行列であって

　　ｒ11ｒ21＋ｒ12ｒ22＋ｒ13ｒ23＋ｒ14ｒ24＋ｒ15ｒ25＝０→（ＯＫ）

　　ｒ11^2＋ｒ12^2＋ｒ13^2＋ｒ14^2＋ｒ15^2＝ｒ21^2＋ｒ22^2＋ｒ23^2＋ｒ24^2＋ｒ25^2→（ＮＧ）

この方程式を解いて（ｘ3，ｙ3）を求める．

　［　ｘ3］＝［ｒ11，ｒ12，ｒ13，ｒ14，ｒ15］［ｖ6］

　［−ｙ3］　［ｒ21，ｒ22，ｒ23，ｒ24，ｒ25］

すなわち，残りの１点はｘ軸に関して対称な点（ｘ3，−ｙ3），ｙ3^2＝１−ｘ3^2に移るはずである．→（ＯＫ）

　すなわち，直交条件だけを仮定することによって，解くことができた．　

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