■サマーヴィルの等面四面体(その695)

 n次元正単体のn+1個の頂点v1,v2,・・・,vn+1を単位円周上に写す.その際,4個の移り先(x1,±y1),(x2,±y2)は既知であるが,(x3,±y3)は未知である.それを求めたい.

  x1^2+y1^2=1,x2^2+y2^2=1,x3^2+y3^2=1

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 5次元正単体の6頂点

v1(+1/2,−1/√12,−1/√24,−1/√40,−1/√60)

v2(−1/2,−1/√12,−1/√24,−1/√40,−1/√60)

v3(   0,+2/√12,−1/√24,−1/√40,−1/√60)

v4(   0,     0,+3/√24,−1/√40,−1/√60)

v5(   0,     0,     0,+4/√40,−1/√60)

v6(   0,     0,     0,     0,+5/√60)

  x2=−((6+√21)/20)^1/2

  y2=((14−√21)/20)^1/2

  x1=(−9+√21)/5・x2

  y1=(1+√21)/5・y2

  投影図上P1P2=P2P3=P3P4となっている.

 v1〜v6を縦ベクトルとする.

v1[+1/2,−1/√12,−1/√24,−1/√40,−1/√60]’

v2[−1/2,−1/√12,−1/√24,−1/√40,−1/√60]’

v3[   0,+2/√12,−1/√24,−1/√40,−1/√60]’

v4[   0,     0,+3/√24,−1/√40,−1/√60]’

v5[   0,     0,     0,+4/√40,−1/√60]’

v6[   0,     0,     0,     0,+5/√60]’

5×5行列v=[v1,v2,v3,v4,v5]の逆行列v^-1をuとする.

u=[u11,u12,u13,u14,u15]

  [u21,u22,u23,u24,u25]

  [u31,u32,u33,u34,u35]

  [u41,u42,u43,u44,u45]

  [u51,u52,u53,u54,u55]

未知数(x3,y3)を含む2×5行列

[x1, x1,x2, x2,x3]

[y1,−y1,y2,−y2,y3]

との積の2×5行列を

r=[r11,r12,r13,r14,r15]

  [r21,r22,r23,r24,r25]

とする.

r11=x1u11+x1u21+x2u31+x2u41+x3u51

r21=y1u11−y1u21+y2u31−y2u41+y3u51

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

 これは直交表列であって

  r11r21+r12r22+r13r23+r14r24+r15r25=0

  r11^2+r12^2+r13^2+r14^2+r15^2=r21^2+r22^2+r23^2+r24^2+r25^2

が成り立つ.この連立方程式を解いて(x3,y3)を求める.

 [ x3]=[r11,r12,r13,r14,r15][v6]

 [−y3] [r21,r22,r23,r24,r25]

すなわち,残りの1点はx軸に関して対称な点(x3,−y3),y3^2=1−x3^2に移るはずである.

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 もし,5×5行列vを三角行列にしたければ[v2,v3,v4,v5,v6]

 [ x3]=[r11,r12,r13,r14,r15][v1]

 [−y3] [r21,r22,r23,r24,r25]

すなわち,残りの1点はx軸に関して対称な点(x3,−y3),y3^2=1−x3^2に移るはずである.

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