■3次元格子上の酔歩の再帰確率(その2)

 各ステップでの変位の特性関数がλ(k)で与えられている.n個の同一分布にしたがう確率変数の和の特性関数は,特性関数のn回の積で与えられる.

  Pn(k)={λ(k)}^n

[1]λ(k)が正規分布に従うとき,nステップ後の変位の分布Pn(x)は正規分布に従う.

[2]λ(k)がコーシー分布に従うとき,nステップ後の変位の分布Pn(x)はコーシー分布に従う.

 1ステップでの変位の分布おいて,2次モーメントが存在しないときを考える.すなわち,中心極限定理が破れたときである.

 たとえば,コーシー分布では2次モーメントは存在せず,nステップ後の変位の分布はコーシー分布になる.

[3]安定性

 正規分布に従う確率変数の和の分布は正規分布に,コーシー分布に従う確率変数の和の分布はコーシー分布にしたがうという性質をもっている.

 しかし,この性質(安定性)をもつのは,正規分布やコーシー分布だけではない.一般に,分布p(x)が漸近的に指数0<α<2であるベキ分布

  p(x)〜A/x^(1+α)

  Pn(k)→exp(−ak^α)

  a:スケールパラメータ,α:指数

はレヴィ分布と呼ばれる.

 このようなすべての分布は安定性をもつ.コーシー分布はそのひとつで,正規分布(α=2,Pn(k)→exp(−ak^2))はその極限である.

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