■サマーヴィルの等面四面体(その658)

 平面上の凸な閉曲線上には,正方形の頂点をなす4点が存在する(シュニーレルマン).どんな閉曲線も正方形の4頂点を含むかどうかは未解決である.

[Q]△ABCの辺BC上に1辺,辺CA,AB上にそれぞれ頂点がある正方形を作図せよ.

=[Q]与えられた三角形に正方形を内接させよ.正方形の2つの頂点は三角形の底辺にあり,他の2頂点はそれぞれ三角形の辺上にあるものとする.

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 ポリア「いかにして問題を解くか」丸善

には三角形に内接する正方形の作図問題が掲載されているが,はじめて知ったときにはまるで魔法のように感じられた.実は,この問題はあまり難しくなく,1本の直線を思いつくならばほぼ成功である.

[A]2つの頂点が三角形の底辺にあり,ひとつの頂点が三角形の辺上にある正方形を作図する.4番目の頂点は三角形の辺上にないが,それと三角形の頂点を結ぶ直線を描く.その直線と三角形の辺との交点が要請された正方形の4番目の頂点になる.

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 いくつかの有名な作図問題を紹介してきたが,最後に

[Q]△ABCの辺BC,CA,AB上にそれぞれ頂点がある正三角形を作図せよ.

 この問題はおそらく一意ではなく,何通りかの正三角形を描くことができると思うので,解答は与えないでおきたい.

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