【１】高次元ＦＣＣ結晶

　正軸体の頂点

　　Ｐ1（１，０，・・・，０）

　　Ｐ2（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　Ｐn（０，０，・・・，１）

　切頂により，辺の中点が頂点になる．

　　Ｑ1（１／２，１／２，０，・・・，０，０）

　　Ｑ2（０，１／２，１／２，・・・，０，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｑn（０，０，０，・・・，１／２，１／２）

　　ＯＱ1＝１／√２

　　ＯＱ2＝１／√２

　　ｃｏｓθ＝１／２

　したがって，ＦＣＣ結晶の二胞角はその補角であるから，次元に関わらず１２０°となる．

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【２】高次元ＨＣＰ結晶

　正単体の基本単体を（０，ａ1，・・・，ａn）とする．

　　ａj＝√２／ｊ（ｊ＋１），ｙj＝ｘj／ａj

>　　（１−ｙ1）／√（１／ａ1^2）＝（ｙn-1−ｙn）／√（１／ａn-1^2＋１／ａn^2）＝Ｌ

　　ｙ1−ｙ2＝ｙ2−ｙ3＝・・・＝ｙn-2−ｙn-1＝０

　　ｙ1＝ｙ2＝・・・＝ｙn-1，ｙ0＝１，ｙn＝０

　　ａ1＝１

　　１／ａn-1^2＋１／ａn^2＝（ｎ−１）ｎ／２＋ｎ（ｎ＋１）／２＝ｎ^2

　　（１−ｙ1）＝ｙ1／ｎ，ｙ1＝ｎ／（ｎ＋１）＝ｙ2＝・・・＝ｙn-1

　　Ｌ＝１／（ｎ＋１），ｙ1−１＝−Ｌ

　頂点の座標は

　　Ｑ1（ａ1ｙ1，ａ2ｙ2，・・・，ａnｙn）

もう一つの頂点は

　　Ｑ2（ａ1ｙ1＋２Ｌ，ａ2ｙ2，・・・，ａnｙn）

　　Ｏ（ａ1，・・・，ａn）

　　ＯＱ1（ａ1（ｙ1−１），ａ2（ｙ2−１），・・・，ａn（ｙn−１））

＝（−Ｌａ1，・・・・，−Ｌａn-1，−ａn）

　　ＯＱ2（ａ1（ｙ1−１）＋２Ｌ，ａ2（ｙ2−１），・・・，ａn（ｙn−１））

＝（−Ｌａ1＋２Ｌ，・・・・，−Ｌａn-1，−ａn）

　　ＯＱ1^2＝Ｌ^2｛ａ1^2＋・・・＋ａn-1^2｝＋ａn^2

＝｛１／（ｎ＋１）｝^2｛２／１・２＋・・・＋２／（ｎ−１）ｎ｝＋２／ｎ（ｎ＋１）

＝２｛１／（ｎ＋１）｝^2・｛１−１／ｎ｝＋２／ｎ（ｎ＋１）

＝２（ｎ−１）／ｎ（ｎ＋１）^2＋２／ｎ（ｎ＋１）

＝４／（ｎ＋１）^2

　　ＯＱ2^2＝Ｌ^2｛ａ1^2＋・・・＋ａn-1^2｝＋ａn^2＋４Ｌａ1（ｙ1−１）＋４Ｌ^2

＝４／（ｎ＋１）^2

　　ＯＱ1・ＯＱ2＝｛ａ1^2（ｙ1−１）^2＋ａ2^2（ｙ2−１）^2＋・・・＋ａn^2（ｙn−１）^2｝＋ａn^2＋２Ｌａ1（ｙ1−１）

＝Ｌ^2｛ａ1^2＋・・・＋ａn-1^2｝＋ａn^2−２Ｌ^2

＝４／（ｎ＋１）^2−２／（ｎ＋１）^2

＝２／（ｎ＋１）^2

　　ｃｏｓθ＝１／２

　したがって，ＨＣＰ結晶の二胞角はその補角であるから，次元に関わらず１２０°となる．

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