■サマーヴィルの等面四面体(その646)

【1】デーン・サマービル関係式

 n次単体的多面体に対しては,デーン・サマービル関係式

  (−1)^(n-1)fk=Σ(k,n-1)(−1)^j(j+1,k+1)fj

が成り立つ.

  −1≦k≦n−1

であるが,k=n−1の場合は自明.k=−1の場合はf-1=fn=1とみなせば,オイラーの関係式になる.

 また,このデーン・サマービル関係式の書き方はいくつかあるが

  Σ(0,k)(−1)^k-j(n−j,n−k)fj-1=Σ(0,n-k)(−1)^n-k-j(n−j,k)fj-1

  fk-1=Σ(k,n)(−1)^n-j(j,k)fj-1

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[雑感]単体的多面体に対するデーン・サマービル関係式は,そもそもワイソフ構成された多面体には単体的なものは含まれないので,これも無効である.

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