点Ｐ0，Ｐ1，・・・，Ｐn-1に対して，原点が面心であるための必要十分条件は

　　Ｐ0＋Ｐ2＝ｘ1Ｐ1

　　Ｐ1＋Ｐ3＝ｘ2Ｐ2

　　・・・・・・・・

　　Ｐn-2＋Ｐ0＝ｘn-1Ｐn-1

　　Ｐn-1＋Ｐ1＝ｘnＰ0

を満たす（ｘ1，ｘ2，・・・，ｘn）が存在することである．

　　［参］硲文夫「面心の代数幾何学」東京電機大学出版会

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【１】面心三角形

　三角形の重心では（−１，−１，−１）である．

　　Ｐ0＋Ｐ2＝ｘ1Ｐ1

　　Ｐ0＋Ｐ2＝−Ｐ1

　　Ｐ1＋Ｐ2＋Ｐ3＝０

これは△Ｐ1Ｐ2Ｐ3の重心が原点Ｏであることにほかならないことを意味している．

＝△Ｐ1Ｐ2Ｐ3の面心はひとつに限られ，それは重心に一致する．

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【２】面心四角形

　　Ｐ0＋Ｐ2＝ｘ1Ｐ1

　　Ｐ1＋Ｐ3＝ｘ2Ｐ2

　　Ｐ2＋Ｐ0＝ｘ3Ｐ3

　　Ｐ3＋Ｐ1＝ｘ4Ｐ0

面心が原点（０，０，０，０）であるための条件を求めてみたい．２点Ｐ0，Ｐ1とｘ1，ｘ2を決めれば残りの点も決まる．

（ｘ1，ｘ2，ｘ3，ｘ4）＝（α，０，−α，０）

（ｘ1，ｘ2，ｘ3，ｘ4）＝（０，α，０，−α）

Ｐ0（１，０），Ｐ1（１，１）

［１］Ｐ3＝−Ｐ1＝（−１，−１）のとき，

　　Ｐ2＝−Ｐ0＋αＰ1＝（−１，０）＋α（１，１）＝（α−１,α）

　　Ｐ2はどの四角形でもｙ＝ｘ＋１上にある

［２］Ｐ2＝−Ｐ0＝（−１，０）のとき

　　Ｐ3＝−Ｐ1＋αＰ2＝（−１，−１）＋α（−１，０）＝（−α−１,−１）

）

　　Ｐ3はどの四角形でもｙ＝−１上にある

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