チェビシェフ多項式は円分多項式の相反多項式の積として表されることがわかった．

　　ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／ｎ）

であるから，２Ｔn（ｘ／２），Ｕn（ｘ／２）はΨd（ｘ）で因数分解され，Ｔn（ｘ）＝０の根はｃｏｓ（ｋπ／２ｎ），ｋ＝１，３，５，・・・，２ｎ−１また，Ｕn（ｘ）＝０の根はｃｏｓ（ｋπ／（ｎ＋１）），ｋ＝１，２，３，・・・，ｎ

と表される．

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　ド・モアブルの定理

　　（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^n＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ

の左辺を２項展開して，実部と虚部を比較すると

　　ｃｏｓｎθ＝（ｃｏｓθ）^n−（ｎ，２）（ｃｏｓθ）^n-2（ｓｉｎθ）^2＋・・・

　　ｓｉｎｎθ＝ｓｉｎθ｛（ｎ，１）（ｃｏｓθ）^n-1−（ｎ，３）（ｃｏｓθ）^n-2（ｓｉｎθ）^2＋・・・｝

　ｘ＝ｃｏｓθとして，ｘの多項式として表したものがチェビシェフ多項式である．

　チェビシェフ多項式は最良近似問題，例えば３次関数ｙ＝ｘ^3を２次関数ｔ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃでよく近似するためにはａ，ｂ，ｃを如何にとったらいいかという問題では，誤差の最大値を最小にすればよいのであるが，ミニマックス近似多項式と深く関連していることが知られている．

［多項式近似定理］

　ｐ（ｘ）＝ｘ^n＋ａ1ｘ^n-1＋・・・＋ａn

　Ｍ＝ｍａｘ｜ｐ（ｘ）｜

とする．このとき，

　Ｍ≧１／２^n-1

が成立し，Ｍを最小にするのは

　ｐ（ｘ）＝Ｔn（ｘ）／２^n-1

ただひとつである．

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