【２】正七角形

　円分多項式を相反多項式にして

　　ｙ＝ｘ＋１／ｘ

とおくと

　　ｙ＝２ｃｏｓ（２π／ｎ）

が得られます．

　正七角形の場合の円分多項式

　　ｘ^6＋ｘ^5＋ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１ｘ＋１＝０

では

　　ｙ＝２ｃｏｓ（２π／７）

になるというわけです．

　ここでは複素数（円分多項式）を使わずに，正七角形が作図不可能であることを証明します．

［１］ｃｏｓ（π／７）

　ｃｏｓ（π／７）が３次方程式：８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０の解として得られます．

　　ｘ＝１／６｛１＋√７ｃｏｓ（１／３ａｒｃｔａｎ３√３）＋√２１ｓｉｎ（１／３ａｒｃｔａｎ３√３）｝＝０．９００９６９

　すぐに思いつくのは７倍角の公式

　　ｃｏｓ７θ＝６４ｃｏｓ^7θ−１１２ｃｏｓ^5＋５６ｃｏｓ^3−７ｃｏｓθ

において，θ＝π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと

　　６４ｘ^7−１１２ｘ^5＋５６ｘ^3−７ｘ＝−１

７次方程式の解として得られるというものであるが，３次方程式に還元させてみよう．

　θ＝π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと

　　７θ＝π，４θ＝π−３θ

より，

　　ｃｏｓ４θ＝−ｃｏｓ３θあるいはｓｉｎ４θ＝ｓｉｎ３θ

　前者は４次方程式

　　８ｃｏｓ^4θ−８ｃｏｓ^2θ＋１＝−４ｃｏｓ^3θ＋３ｃｏｓθ

後者は

　　８ｓｉｎθｃｏｓ^3θ−４ｓｉｎθｃｏｓθ＝−４ｓｉｎ^3θ＋３ｓｉｎθ

　　８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ＝−４ｓｉｎ^2θ＋３

　　８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ＝４ｃｏｓ^2θ−１

より３次方程式：８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０に帰着する．後者の方が方程式の次数が下がり，（ｎ−１）／２次方程式となることがおわかりいただけるであろう．

［２］ｃｏｓ（２π／７）

　θ＝２π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと

　　７θ＝２π，４θ＝２π−３θ

より，

　　ｃｏｓ４θ＝ｃｏｓ３θあるいはｓｉｎ４θ＝−ｓｉｎ３θ

　前者は４次方程式

　　８ｃｏｓ^4θ−８ｃｏｓ^2θ＋１＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ

後者は

　　８ｓｉｎθｃｏｓ^3θ−４ｓｉｎθｃｏｓθ＝４ｓｉｎ^3θ−３ｓｉｎθ

　　８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ＝４ｓｉｎ^2θ−３

　　８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ＝−４ｃｏｓ^2θ＋１

より３次方程式：８ｘ^3＋４ｘ^2−４ｘ−１＝０に帰着するというわけである．

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【３】正九角形

　正９角形はｘ＝ｃｏｓ（π／９）とおくと，３倍角の公式

　　４ｘ^3−３ｘ＝ｃｏｓ（π／３）＝１／２

より，３次方程式：８ｘ^3 −６ｘ−１＝０に帰着します．あるいは，θ＝π／９，ｃｏｓθ＝ｘとおくと

　　９θ＝π，５θ＝π−４θ

より，

　　ｃｏｓ５θ＝−ｃｏｓ４θあるいはｓｉｎ５θ＝ｓｉｎ４θ

　前者は５次方程式

　　１６ｃｏｓ^5θ−２０ｃｏｓ^3θ＋５ｃｏｓθ＝−８ｃｏｓ^4θ＋８ｃｏｓ^2θ−１

となるが，後者は

　　１６ｓｉｎ^5θ−２０ｓｉｎ^3θ＋５ｓｉｎθ＝８ｓｉｎθｃｏｓ^3θ−４ｓｉｎθｃｏｓθ

　　１６ｓｉｎ^4θ−２０ｓｉｎ^2θ＋５＝８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ

よりｃｏｓθ関する３次方程式に帰着するというわけである．

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