「ａを底とする完全数」として，（ａ^p−１）／（ａ−１）が素数となるという条件をつけて

　　Ｎ＝ａ^p-1（ａ^p−１）／（ａ−１）とか・・・

　　Ｎ＝３^p-1（３^p−１）／２・・・３を底とする狭義の完全数

　　Ｎ＝４^p-1（４^p−１）／３・・・４を底とする狭義の完全数

　　Ｎ＝５^p-1（５^p−１）／４・・・５を底とする狭義の完全数

としたが，ａ自体も素数であるのが究極の完全数であろう．

　　Ｎ＝２^p-1（２^p−１）・・・２を底とする狭義の完全数

　　Ｎ＝３^p-1（３^p−１）／２・・・４を底とする狭義の完全数

　　Ｎ＝５^p-1（５^p−１）／４・・・５を底とする狭義の完全数

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　これは強い意味でも完全数であって，（ａ^p−１）／（ａ−１）が素数となるという条件を外して，ｐが素数になるという条件だけをつければ「弱完全数」になる．

　弱完全数でも，ｅ＋１＝ｐとして

［１］ｅ＝０（ｍｏｄ４）ならばｑ＝１（ｍｏｄ１０），ａ＝６（ｍｏｄ１０）

［２］ｅ＝２（ｍｏｄ４）ならばｑ＝７（ｍｏｄ１０），ａ＝８（ｍｏｄ１０）

という性質は成立する．

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