［Ｑ］ｘ0＝ｍ，ｍは２より大きい整数とする．このとき

　　　ｘn＝（ｘn-1）^2−２,

の一般項を求めよ．

［Ａ］α＋１／α＝ｍ，α＞１とすると，帰納法より

　　ｘn＝α^(2^n)＋α^-(2^n)

　これはｘn＝［α^(2^n)］と等価である．

　たとえば，ｍ＝３のとき，

　　α＋１／α＝３

　　α^2−３α＋１＝０，α＝（３＋√５）／２＝φ^2

　　ｘn＝［φ^(2^n+1)］

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［Ｑ］ｙ0＝ｍ，ｍは正の整数とする．このとき

　　　ｙn＝２（ｙn-1）^2−１

の一般項を求めよ．

［Ａ］２ｙn＝（２ｙn-1）^2−２，２ｙ0＝２ｍ

　　α＋１／α＝２ｍ，α＞１とすると，帰納法より

　　２ｙn＝α^(2^n)＋α^-(2^n)

　これはｙn＝［α^(2^n)／２］と等価である．

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［Ｑ］ｕ0＝１，ｕn+1＝ｕn^2＋ｕn＋１

　　ｕ1＝１，ｕ2＝３，ｕ3＝１３，ｕ4＝１８３，ｕ5＝３３９７３

の一般項を求めよ．

［Ａ］この手が使えないだろうか？

　ｕn+1＝ｕn^2＋ｕn＋１＝（ｕn＋１／２）^2＋３／４

　ｕn+1＋１／２＝（ｕn＋１／２）^2＋１／４

　ｘn+1＝（ｘn）^2＋１／４，ｘ0＝１／２，次回の宿題としたい．

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