■√2は無理数であるの裏の裏(その13)

 exp(x)(x−1)=exp(−x)(x+1)の根を調べてみたい.

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f(x)=exp(x)(x−1)−exp(−x)(x+1)

f’(x)=exp(x)(x−1)+exp(x)+exp(−x)(x+1)−exp(−x)

=xexp(x)+xexp(−x)

=x{exp(x)+exp(−x)}>0

より,単調増加.

f(0)=−1−1=−2

f(1)=−2exp(−1)=−2/e<−2/3<0

f(2)=exp(2)−2exp(−2)=e^2−2/e^2>0

根は1<x<2にあることがわかる.

 x=1.1996678640257734・・・

となるのだそうであるが,スティルチェスはこの数を決定し,ケプラーの方程式z−a=αsinzを解くのに利用したとのことである.

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