ｅ^π＝２３．１４０６９２６４・・・〜π＋２０

は無理数（超越数）である．（−１）^-iに等しいから，このことはゲルフォント・シュナイダーの定理「ａは０でも１でもない代数的数，ｂは代数的無理数ならば，ａ^bは超越数である」からいえる．

　一方，

　　π^e＝２２．４５９１５７７１・・・〜π＋２０

が有理数かどうかはわかっていない．

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［Ｑ］ｙ1＝ｘ^xの最小値を求めよ．

　　ｌｏｇｘ^x＝ｘｌｏｇｘ

　　（ｘｌｏｇｘ）’＝ｌｏｇｘ＋１＝ｌｏｇ（ｘｅ）

　　ｙ1’＝ｙ1ｌｏｇ（ｘｅ）

　したがって，ｘ^xは０＜ｘ＜１／ｅでは単調減少，ｘ＞１／ｅでは単調増加．ｘ＝１／ｅのとき，最小値（１／ｅ）^1/e＝ｅ^-1/e＝０．９６２２・・・をとる．

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