決して有名とはいえないのだが，次のようなゼータ関数に帰着する無限級数（n=1~∞）が知られている．２項係数nＣkを(n,k)と書くことにすると

　　Σ1/(2n,n)={2π√3+9}/27

　　Σ1/n(2n,n)=π√3/9

　　3Σ1/n^2(2n,n)=ζ（2）

　　12Σ(2-√3)^n/n^2(2n,n)=ζ（2）

　　5/2Σ(-1)^(n-1)/n^3(2n,n)=ζ（3）

　　36/17Σ1/n^4(2n,n)=ζ（4）

　これらは，

　　Σ1/n^k(2n,n)

あるいは

　　Σ(-1)^(n-1)/n^k(2n,n)

と書けるが，もしζ（2），ζ（3），ζ（4），・・・がΣ1/n^k(2n,n)あるいはΣ(-1)^(n-1)/n^k(2n,n)の有理数倍になっているとしたら・・・，そして，その明示的な公式を得ることができたら・・・，それは夢のような話であろう．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［０］Mathematicaの仕組み

　ところで，このような無限級数を取り上げ，Mathematicaで計算してみると，いかにも誇らしげに答えが返ってくる．

　　Σ1/n^2(2n,n)=π^2/18

などはその例である．

　実用的にはこれでよいのかも知れないが，問題はmathematicaがあまりにも賢すぎて，単純形を知っている場合は途中の計算過程を表示しないで，最終結果だけを返してくるということである．

　Mathematicaでは，トレース機能で計算経過を追跡できる．しかし，無限級数や積分の場合，「自分の公式集」を使っている形跡があり，殆ど計算経過を教えてくれない．ヒューリスティックに多少の式の変型，幾つかの公式の試用はしているはずなのだが，全く情報が得られないので，計算結果については開発元と数値近似の結果を信頼するしかない．頭が良すぎてその仕組みを窺い知ることができないというのも，それを使うわれわれにとっては大きな問題である．

　実は，Σ1/n^2(2n,n)は，超幾何関数

　　Σ1/n^2(2n,n)=1/2*3Ｆ2(1,1,1;3/2,2;1/4)

で表現することができる．したがって，この超幾何関数を初等関数や特殊関数へ変換する方法が分かれば問題は解決するように思われる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］Σ1/n^2(2n,n)=π^2/18

　まず，Σ1/n^2(2n,n)が第０項から始まるように，パラメータをずらすことにする．

　　Σ1/(n+1)^2(2(n+1),n+1)=Σ(n+1)!(n+1)!/(n+1)^2(2n+2)!

　この級数の項比は

　　ａn+1ｘn+1/ａnｘn=(n+1)^3/4(n+2)(n+3/2)*x/(n+1)

であるから，

　　Σ1/(n+1)^2(2(n+1),n+1)=ａ0*3Ｆ2(1,1,1;3/2,2;1/4)

また，ａ0=1/2より

　　Σ1/(n+1)^2(2(n+1),n+1)=1/2*3Ｆ2(1,1,1;3/2,2;1/4)

これより，級数Σ1/n^2(2n,n)は超幾何級数であると同定される．

　公式

　　3Ｆ2(2a,2b,a+b:2a+2b,a+b+1/2;x)={2Ｆ1(a,b;a+b+1/2;x^2)}

において，a=1/2,b=1/2とすることにより

　　3Ｆ2(1,1,1;3/2,2;x^2)={2Ｆ1(1/2,1/2;3/2;x^2)}^2

2Ｆ1はガウス型超幾何関数であって，

　　2Ｆ1(1/2,1/2;3/2;x^2)=arcsin(x)/x

　これより，1/2*{arcsin(x)/x}^2にx=1/2を代入することによって

　　Σ1/n^2(2n,n)=π^2/18

が得られる．

　　Σ(2-√3)^n/n^2(2n,n)

の場合の同様の計算は，

　　Σ(2-√3)^(n+1)/(n+1)^2(2(n+1),n+1)

　　=(2-√3)/2*3Ｆ2(1,1,1;3/2,2;(√6-√2)/4)

　　=π^2/72

　交代級数

　　Σ(-1)^(n-1)/n^2(2n,n)

の場合は，

　　Σ(-1)^n/(n+1)^2(2(n+1),n+1)=1/2*3Ｆ2(1,1,1;3/2,2;-1/4)

　　2Ｆ1(1/2,1/2;3/2;-x^2)=arcsinh(x)/x

であって，

　　Σ(-1)^(n-1)/n^2(2n,n)=2*{arcsinh(1/2)}^2

となる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝