■リンゴの皮むき曲線について(その8)

 リンゴの皮むき曲線に関連する話題をいくつか掲げてみたい.

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【1】テオドロスのらせん(平方根の螺線)

 原点をO,点P1を(1,0)とします.点P1において長さ1の垂線P1P2⊥OP1を立て点P2(1,1)とします.すると,OP2=√2となります.さらに点P2において長さ1の垂線P2P3⊥OP2を立てます.OP3=√3となります.これを繰り返せば,1,√2,√3,・・・,√(n−1),√nが得られ,点P1,P2,・・・は螺線のような図形を作る.

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【2】テオドロスのらせんの漸近挙動

 テオドロスのらせんは,複素数を用いて

  z1=1+i

  zn+1=zn+zn/|zn|・i,|zn|=√(n+1)

として表すことができる.iはπ/2回転させる.

  zn+1=(1+i/√(n+1))zn=Π(1+1/√k)

  zn=Π(1+1/√k),l=1〜n

  zn=Π(1+1/√k)/(1+1/√(n+k))

 ここで,

  T(x)=Π(1+1/√k)/(1+1/√(x+k)),l=1〜∞を定義してと,lnT(x)を微分すると,結局

  T(x)=√(x+1)exp(iθ)

  |T(x)|=√(x+1)

  r=√(x+1)

より,漸近的に

  θ〜2√(x+1)+K

  r〜1/2θ−1/2k

となって,アルキメデスのらせん(r=a+bθ)に近づいていくことがわかる.

 対数らせん(r=aexp(bθ)ではないのである.なお,テオドロスのらせんがx軸との交点の傾きは

  T’(0)=1/2+i/2Σ1/(k+1)√k

より,

  T=Σ1/(k+1)√k=1.86・・・

となる.

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