■整数三角形の話(その6)

 (その5)のままでは扱いにくいので

  a^2−ab+b^2=c^2

の形に直しておきたい.

  s^2−sa+a^2=s^2−sb+b^2=c^2

s→aまたはbとすればよいから,

 0<n<mなる互いに素な整数m,nにより,

  c=m^2+mn+n^2,a=m^2+2mn,b=m^2−n^2

  (m^2+mn+n^2)^2=m^4+2m^3n+3m^2n^2+2mn^3+n^4

(a,b,c)=(5,7,8),(7,13,15),(16,19,21),

(33,37,40),・・・

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[補]a^2+ab+b^2=c^2

の一般解は

a=(m^2−n^2),b=(2mn+n^2),c=(m^2+mn+n^2)

[定理]7,13,19,31,37,43,・・・は3で割ると1余る素数です.3で割ると2余る素数はそのようになりません.

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