■整数三角形の話(その1)

 △ABCにおいて,a≦b≦cとする.

[1](a,b,c)が整数で,∠Cが90°である三角形がピタゴラス三角形である.a^2+b^2=c^2

 最小のピタゴラス三角形(エジプト三角形)は(3,4,5)である.

  5^2=3^2+4^2

[2](a,b,c)が整数で,∠Cが120°である三角形がアイゼンシュタイン三角形である.a^2+ab+b^2=c^2

 最小のアイゼンシュタイン三角形は(3,5,7)である.

  7^2=3^2+5^2−2・3・5・cos120°=9+25+15=49

 古来より,日本人は数は偶数よりも奇数,形は対称形よりも非対称なものを好む傾向があり,それらは七五三や注連縄(七五三縄)などの風習に現れている.

[3](a,b,c)が整数で,ひとつの角が60°である三角形がナゴヤ三角形である.ただし,正三角形は除外する.

 最小のナゴヤ三角形は(5,7,8)である.60°の対辺は「7」である.

  7^2=5^2+8^2−2・5・8・cos60°=25+64−40=49

  b^2=a^2+c^2−ac

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