■サマーヴィルの等面四面体(その488)

[1]すべての解が|λi|=1なら,それらの積の絶対値が1なので,実数係数とすれば,

  a0/an=±1

がひとつの必要条件となる.

[2]以下,実数係数とすると,λが解ならその共役λ~も解であり,偶数次なら全体が

  x^2+αjx+1=0,|αj|≦2の形の積(x^2±2x+1=(x±1)^2,重解も許して)

奇数次ならば,上記の形の積に(x+1)または(x−1)を掛けた形になることは確かである.

[3]ただし,これを展開したとき,元の係数an,・・・,a0の間にどういう関係がなりたつか,一般論は難しいかもしれない.

[4]相反方程式an=a0,an-1=a1,・・・,

nが奇数ならa(n+1)/2=a(n-1)/2

nが偶数ならan/2を残して,an/2+1=an/2-1

では,x^2+1でまとめる工夫ができそうである.

[5]

n=3の場合→2λ+2=0→λ+1=0

n=4の場合→3λ^2+4λ+3=0→λ^2+4λ/3+1=0

n=5の場合→4λ^3+6λ^2+6λ+4=0→(λ+1)(λ^2+λ/2+1)

n=6の場合→5λ^4+8λ^3+9λ^2+8λ+5=0→(λ^2+αλ+1)(λ^2+βλ+1)=0

α+β=−1.6,αβ=−0.2よりα=(−4+√21)/5,β=(−4−√21)/5

といった形になっている.たぶん,一般のnでも|λi|<1は正しい?

[6]代数方程式の解がすべて|x|≦1にある条件などはいくつか知られているので,それと1/xを解とする,係数を逆順の並べた方程式に適用することで、ひとつの条件がでるかもしれない.

===================================