■サマーヴィルの等面四面体(その487)

[1]n次方程式:λ^n+λ^n-1+・・・+λ+1=0

の解は,すべて複素数解で,

  |λi|=1

である.

[2]n−2次方程式:Σ(n−ν)νλ^ν-1=0,ν=1〜n−1

n=3の場合→2λ+2=0

n=4の場合→3λ^2+4λ+3=0

n=5の場合→4λ^3+6λ^2+6λ+4=0

n=6の場合→5λ^4+8λ^3+9λ^2+8λ+5=0

の解も,(n=3の場合を除き)すべて複素数解で,|λi|=1である.

[3]一般に,n次方程式:anλ^n+an-1λ^n-1+・・・+a1λ+a0=0

が,|λi|=1なる解をもつためにはa0=anとなることが必要である.

[4]しかし,それ以外の必要条件がわからない.すべての解が|λi|=1となるn次方程式を特徴づけることは可能だろうか?

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