■脂肪族アルコールの構造異性体数(その3)

[Q]関数方程式

  f(x)=√(1+x√{1+(x+1)√{1+(v+2)+・・・}}}

[A]f(x)^2=1+(x+1)f(x+1)を満たす.

  →めのこで(x+1)^2=1+x(x+2)

  →f(x)=x+1

 xを特定の数とする.たとえば,x=2

  √(1+2√{1+3√{1+・・・}}}=3

 今回のコラムでは,関数方程式

  f(1/x)=Cx^ーDf(x),Cは定数,Dは重みと呼ばれる

について調べてみます.

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[1]f(x)=1/(x−1)

 f(1/x)=1/(x^-1−1)=x/(1−x)=−xf(x)

C=−1,D=−1

 すなわち,重さ−1の絶対保型形式となる.

[2]f(x)=x^2/(x^2−1)

 f(1/x)=x^-2/(x^-2−1)=1/(1−x^2)=−x^-2f(x)

C=−1,D=2

 すなわち,重さ2の絶対保型形式となる.

[3]f(x)=(2g−2)(x^2+x)/(x−1)^2

 f(1/x)=(2g−2)(x^-2+x^-1)/(x^-1−1)^2=(2g−2)(x+1)/(x−1)^2=x^-1f(x)

C=1,D=1

 すなわち,重さ1の絶対保型形式となる.

[4]f(x)=x^3/(x−1)^3

 f(1/x)=x^-3/(x^-1−1)^3=−1/(x−1)^3=−x^-3f(x)

C=−1,D=3

 すなわち,重さ3の絶対保型形式となる.

[5]f(x)=x^1-N・(x^N−1)^2/(x−1)=x^1/2・(x^N/2−x^-N/2)^2/(x^1/2−x^-1/2)

 f(1/x)=x^-1/2・(x^-N/2−x^N/21)^2/(x^-1/2−x^1/2)

=−x^-1f(x)

C=−1,D=1

 すなわち,重さ1の絶対保型形式となる.

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