このシリーズは，２人でじゃんけんした場合と３人でじゃんけんした場合，どちらの場合もあいこになる確率は等しい→不思議だ→納得がいかないというおかあさんのために始まったものである．

　今回はまず，星型五角形（ダビデの星）を描いてみてほしい．星型正五角形である必要はない．

［Ｑ］これには尖点が５カ所あるが，５カ所の尖点の内角の和は何度か？

［Ａ］三角形の内角の和は１８０°である．このことさえ知っていれば尖点の内角の和が１８０°になることが証明できる．根気が必要になるが，自分で考えてみてほしい．

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　ところで，正三角形に対角線はなく，正方形と正五角形の対角線の長さは１種類である．正六角形以上では対角線の長さが複数種類になる．

　正方形の１辺の長さを１とすると対角線の長さは√２である．正五角形の１辺の長さを１とした場合，対角線の長さはφ＝（１＋√５）／２＝１．６１８・・・となる．

　正五角形の対角線を１０本描くと星型正五角形が得られるが，その対角線は他の対角線によって３分される（３等分ではない）．その交点は１：φ内分点になっているのであるが，高校生であれば三角関数（倍角・三倍角の公式）を使って計算することができる．中学生であれば補助線を引いて１：φ内分点になっていることを示すことができるが，どうしても２次方程式の解の公式が必要になる．

　　ｘ^2−ｘ−１＝０　→　ｘ＝（１＋√５）／２

　２次方程式の解の公式なしに黄金比を計算する方法はないと思われる．ところが，解の公式が中学校で教えられなくなって久しいという．私が中学生のころ「黄金比」は半ば常識であったが，いまとなっては非常識でよいということなのだろうか？

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［Ｑ］正多面体の対角線の長さの種類と各々の本数を求めよ．

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